5 1-2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



équations linéaires à coeflicicnls réels et constants de la forme suivante : 



Nous voulons démontrer que, s'il y a p nombres p négatifs, H admet une 

 famille de solutions dépendant de p constantes arbitraires asymptotiques à S 

 pour / = + 30. 



2. Pour abréger l'écriture, nous supposerons ici /i = 2 et /j = i . Ecrivons 

 alors les équations de "L, 



(i) '-±^-',,.r-^'P{x.y,t), -£ = ^y + Qijr,y,t). 



Nous supposons A>o, a^o, et nous faisons les hypothèses suivantes : 

 Pour toute valeur positive de/, et pour |£c|5^, | j|£^, PetQ sont fonctions 

 bien définies et continues de x,yelt, s'annulent pour x = y =^ o, admettent 

 par rapport à x e[ h y des dérivées premières continues, (jui s'annulent aussi 

 pour X == }' .= o. Alors, £ étant un nombre positif arbitrairement choisi, on 

 peut lui faire correspondre un nombre g tel que pour \x\';;^(j, y'Sa les valeurs 

 absolues des dérivées soient inférieures à i. 



3. Un procédé d'intégration des équations linéaires non honiQgènes, dû 

 à Cauchy, amène à rattacher l'étude des solutions de (i) asymptotiques à zéro 

 à celle des équations intégrales 



(2) 



I y(t) =- / e'\''''-'>Q[x(x),y{o'.),y.]du. 



Nous monlrerons qu'elles admettent des solutions en établissant la légi- 

 timité et la convergence des approximations successives de M. Picard, 



i x„{t) =ae-'-', y„{() = o, 



I J•,„^^(t) = ae ■''''+ I e'(«-" P[ar„,(a),,r,„l «), a] f/«, 



(3) { " 



Iy,„^,(t) — — I e-i't» ')Q[.r„,(a),_v,„(3c), alr/3! 

 {m ^=0, 1,9., . . .). 



