SÉANCE DU 28 FÉVRIER 19IO. 5l3 



4. Nous étudierons d'abord les équations intégrales linéaires de compa- 

 raison 



(4) X(0 = Ae-"+c/ e':«-"[X(a) + Y(a)]f/3!, \ {t) - i f [\ (a) +¥(=<)] 6^a. 



On suppose o</<A, A>|a|. Formons, par la méthode du n" .'{, les 

 approximations successives X,„(<), Y,„(/). On voit facilement qu'elles sont 

 bien déterminées, et que les différences X,„ — X,„_,, Y^ — Y,„., sont égales 

 aux produits de As'" f" par des polynômes en /, de degrés non supérieurs 

 à /«, à coefficients positifs et indépendants de e. Donc, pour / > o et fixe, 

 X,„(<) et Y„(^) croissent avec m. 



D'autre part, on démontre de proche en proche que ces fonctions restent 

 inférieures à 



(5) |(0 = Ae-P', ■/)(0= — ^Ae-P', 



(6) -^=-li+^^i + r,). -=-a(> + ^) 



correspondant à la plus petite des deux racines de l'équation caractéris- 

 tique : — p (ces racines sont réelles si |£| est assez petite). Les fonctions (5) 

 vérifient aussi les équations intégrales (4)- 



Les séries entières en £, formées par 2(X,„ — X,„_,), S(Y„, — Y„,_,) sont 

 donc uniformément convergentes pour 1 1 \ assez petite; leurs sommes restent 

 inférieures à 6 Ae''", où o < A </ et ô> o, A et 9 étant indépendants de £. 

 On en conclut que ces sommes X(t) etY (l) vérifient les équations (l\) et (G) 

 et sont identiques aux fonctions (5). 



5. Laissons à i une valeur positive fixe suffisamment petite, détermi- 

 nons (7 (n" 2), prenons A <| et | «| < A. Comparons x'„,e[.y„, à X,„ et Y,„, 



puis x„, — j;,„_i, Xm — J';«-i à X„, — X,„_, et Y„, — Y,„_,, en utilisant des 

 inégalités de Lipschitz convenables. On voit alors que x„, et y,„ sont bien 

 définies, restent inférieures en valeurs absolues à X e^ à Y, et convergent uni- 

 formément vers des limites x et y vérifiant les équations (i) et (2). Comme x 

 et j dépendent de la constante arbitraire a et restent inférieures en valeur 

 absolue à Ae '^', la proposition énoncée est bien établie. 



C. H., 1910, I" Semestre. (T. 150, N» 9.) ^9 



