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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Conditions nécessaires el suffisantes pour la 

 possibilité du problème de Dirichlet. Note de M. Serge Ber\stei.\, 

 présentée par M. Emile Ficard. 



Dans un Mémoire que je viens de publier (') je me suis occupé de 

 rechercher des conditions suffisantes pour la possibilité du problème de 

 Dirichlet. Je me propose de compléter ici ces recherches en indiquant des 

 conditions nécessaires. 



Posons-nous, en particulier, le problème suivant : 



Déterminer parmi les équations de la forme 

 (i) A;-4-2B.s-+-C< = D (AC — B^'>o), 



toutes celles jiour lesquelles le problème de Dirichlet est toujours (^ ) pos- 

 sible. 



Bornons-nous au cas où A, B, C, D sont des fonctions analytiques de .r, 

 r, z,p, q régulières pour toute valeur réelle finie de ces variables et telles 

 que, pour/?, q infinis, elles croissent comme des puissances entières de /), 

 q. Dans la présente Note je supposerai, en outre, A^ = B^ = C^ = o et 

 D^ > G, en me réservant de revenir prochainement au cas général. 



Ceci posé, considérons l'expression 



E = \/>= -1- 2 B/>(/ -^ Ce/- ; 



il est évident que l'ensemble des termes du plus haut degré en/7, q ne peut 

 changer de signe; il arrivera très souvent qu'il ne pourra même pas s'an- 

 nuler pour/?, q différents do zéro. Si cette dernière circonstance se présente, 

 la condition nécessaire et suffisante pour que le problème de Dirichlet soit tou- 

 jours possible est que la croissance de E soit supérieure ou égale à la crois- 

 sance de D. 



Ainsi, par exemple, le problème de Dirichlet pour l'équation 



(9) (\ + 'f-)r—-ip>is^{x-^p-)t^z\,l{\+p'-+q^y\ 



sera toujours possible pour nii., il deviendra, en général, inqjossible 



(') Matheinatischc A/m., t. lAVlII. 



(-) Pour fixer les idées on peut préciser ainsi le mol lou jours : avec des données 

 analytiques sur un contour coinexe analytique quelconque. 



