5l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



A (a-) est continue dans Tinlervalle o,i sauf peut-être en un nombre fini 

 de points où elle possède une discontinuité finie; son signe est d'ailleurs 

 cjuciconque; K(a;, y) est une fonction symétrique, continue et définie^ 

 c'est-à-dire que 



K(r,7) u{x) u{y) d{j;,y)lo 



//' 



pour une fonction u (a-) analogue à A (a?). Cette équation intégrale du type 

 équalion de troisième espèce (Hilbert) peut se résoudre par la méthode de 

 Fredliokn ; je me propose de retrouver, simplement, les propriétés princi- 

 pales des valeurs singulières de cette équation. 



Pour la théorie des équations de seconde espèce (E. Schmidt), l'ortho- 

 gonalité de deux solutions singulières appartenant à deux valeurs singu- 

 lières ditTérentes joue un rôle essentiel. Dans le cas actuel, ce sera le fait 

 pour ces solutions d'être conjuguées relativement au noyau, c'est-à-dire 



telles que 



r r 



//' 



Il résulte de la théorie de Schmidt (on peut d'ailleurs le démontrer direc- 

 tement) qu'une fonction !p conjuguée à elle-même est telle que 



/ 



K-(-», 7)9(7) '</ = o- 



Une telle fonction ne peut donc être solution singulière de (i). On en 

 conclut immédiatement : 



1° Les valeurs singulières de (^i) sont réelles ; 

 2° Les pôles d' une solution de (i) sont simples ; 



3" Si I K (j', /) A (/) K (/, r) dl ^ o, l'équation (i) possède au moins une 



" 



valeur singulière. — l'our démontrer l'existence de cette valeur, j'emploierai 

 la méthode de Schwarz, en m appuyant sur une inégalité fondamentale 



[//^ 



K(,r,j)9(.r) J;(7)</(.r, j) 

 ■r.J j'Kix,y)r^{x)<,{y)d{.r,y) j' JK{.v,y)'^{.v)'L{y)d{.v, y), 

 inégalité (jui s'obtient en écrivant simplement que 



J'jK{x,y) [o{x) + /4(.r)] [o{j) -4- my)] d(a;y)lo, 

 quel (juc soit A. 



