SÉANCt: DU 28 FÉVHIER 19IO. 617 



Les noyaux itérés seront les fondions 



K„{x, y)::iz Ck^x, l) K(l)\^p.,{l,y) dt, 



toute solution singulière de (i) est solution de l'équation 



(2) <if{a-) -II' f k{x)Kp{a\ y) ^{y) dy = o, 



et réciproquement à toute valeur singulière positive de l'équation (2) corres- 

 pond au moins une valeur singulière pour (1). Il existe une valeur singu- 

 lière positive pour le noyau '}^.,(^x,y). 

 En remarquant que 



^■2P+^{-i--y)=j j K(,/,r)A(«)K,,(«,.r)A(r)Kp(.., j)f/{«, .■), 



on vérifie : 



1° Les noyaux itérés ne peuvent être identiquement nuls à partir d'un 

 certain rang que si le noyau 



K,(.r, r)= /K(,r, OA(OK-(/.j)r// 



est identiquement nul. Ko^^, (ic, a;), en effet, ne peut être nul que si 

 K^^i (x,y) est identiquement nul ; 



2° Les noyaux d'indice impair, pour j;=jk, c'est-à-dire 



sont positifs, quel que soit ^c, et non identiquement nuls. Parmi les constantes 

 U„= I K„{.r,j)dx, 



celles d'indice impair sont donc positives cl non nulles. 

 Ln posant g,„ = y^ > on trouve 



(3) o°„,^^„,+,. 

 D'autre part, 



( f f\K,,„^,(x,y)\d(x,y)<l]„„^„ 



(4) r/, 



j I j\K^^,(x,y)\d(.r,y) <hs/ij;;t;, 



H étant une constante. 



