SÉANCE DU 28 FÉVRIER 19IO. Sig 



J'ai démontré anlérieuremenl ('), d'une manière simple et élémentaire : 

 La série 



(1) "^0!/, cosA^/ 



k _ 1 



représente la série de Fourier d'une fonction cp(^0) partout continue et de pé- 

 riode 2-,' cette série est divergente pour = o (-). 



La série (i) est donc un exemple très simple d'une série de Fourier, qui 

 montre pour Ô =: o la singularité de P. du Bois-Reymond. 



Ensuite j'ai remarqué que la série conjuguèe'^aAsinX-O représente aussi 



la série de Fourier d'une fonction '-p(O) partout continue et de période 2-. 



Cela me permettait (en considérant la série de puissance^aA s* delà va- 



riable complexe ::) de répondre à une question posée par M. Pringsheim (■'). 



Depuis, en examinant de plus près la série T^a^sin^O, j'ai trouvé le 



résultat suivant : 

 La série 



(■1) Va^^.sinA-f; 



représente la série de Fourier d' une fonction 1(0) partout continue et de pé- 

 riode 2-; cette série est partout convergente, mais sa convergence est non uni- 

 forme dans chaque intervalle contenant la valeur 6 = o ('). 



La série (2) est donc un exemple très simple d'une série de Fourier, qui 

 montre pour le voisinage de = o la singularité de M. Lebesgue. 



( ' ) Voir le paragraphe 3 de mon Mémoire Lebesgue'sclie Koiislanten and dUergcnlr 

 Fourierreihen dans le Tome 138 du Journal de Crelle. 



(-) Pour un intervalle si 6*1271 — £ (où £ >o), la série (i) est uniforménienl con- 

 vergente. 



(') Voir ma Note Ueber die Polenzreilie an der Kom-ergenzgrenzc, dans les 

 Silsungsberichte der bayer. Akad. 



(*) Pour un intervalle i'iQll% — t, (où £>o), la série (2) est uniformément 

 convergente. 



