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Il est intéressant à reraarqnerqiie les singularités do P. du Bois-Reymond 

 et de M. Lebesguc se présentent respectivement pour la partie réelle et la 

 partie imaginaire d'une même série de puissance à loi de coefficient simple 



série (jiii définit un élément d'une fonction analytique, partout continue 

 pour I z I = I • 



La démonstration des propriétés indiquées de la série (2) est très simple. 

 Elle repose sur les remarques suivantes : 



1° On a 



sin(r+i)j" ^ siD(r+2)a; 



c I r» I »■ I f 1 _1_ 1 \ >• C I n / /■ _1_ O /J ^ »^ I 



< 26, 



i\n{r -\- ii)x sin(/- + « + i).r sin ( /■ + 2/O-1' 



pour n = entier positif quelconque, /•= entier non négatif quelconque, 

 X = quantité réelle quelconque. 



2" On a 



I >., sin(/- + i)j" 4- )>2sin /• + 2).r + . . . + X„, sin(/- + m)x |1 



pour 



eSx'ilTl — £ (£ > o), 



où m = entier positif quelconque, r = entier non négatif quelconque, et A,, 

 A,, . . ., X,„ désignent des nombres quelconques plus petits en valeur absolue 

 que L, mais de signes égaux et toujours croissants ou toujours décroissants. 



3" Pour 



2 ( /■ + /() 

 on a 



sin(/- 4- 1)»^ sin(/+2).r sin (/• + /i)-^ -~, V''^ . ["«T 



n II —i 1 2 L 2 J 



où «=cnlier positif quelconque, /= entier non négatif quelconque, 

 - = le plus grand entier contenu en -• 



