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On sait que le potentiel logarithmique / (logr) dm, clans le cas du plan, 

 et le potentiel newtonien / ^-^ dans le cas de l'espace, étendus à tous les 

 éléments l dm de l'aire ou du volume d'émersion contigus au lieu :; ^ o, 



satisfont respectivement, hors de ce lieu, avec toutes leurs dérivées par- 

 tielles, à l'équation correspondante, \.,h^^ = o, des fonctions harmoniques, 

 vérifiée par la dénivellation A„. Et l'on sait de plus que leur dérivée en z 

 devient, à la limite ^ ^ o, 



rzdm , rzdm 



J -p^ = -^/i-^)- -J -pî- = -'^r-/i^.y)> 



ce qui montre que la fonction cherchée h^, qui doit se réduire à ./(a?) 



, - / , . . I T- d'n 1 /' z dm 



ou a/ (a;, j) pour s ^o, sera, respectivement, - / — — oa — / ., ; pourvu 



que ces expressions tendent asymptotiquement vers zéro aux grandes dis- 

 tances de l'origine. Or il est clair qu'elles y tendent en effet. 



On aura donc 



[ . I rzdm 

 \ son - / — , 



(•) /'o= ^^ , 



i . 1 r Z dm 

 f sou — / — — • 



II. Appelons l'angle fait avec la verticale descendante par le rayon 

 vecteur r émané de l'élément quelconque dm de Faire ou du volume d'émer- 

 sion; ce qui permettra d'écrire 



cos9 = - ^ " R^ étant soit {x — ^)', soit ( J? -^ ^)"+ ( „>' — ''i)'; 



'' ^fz^-h H- 



et, devant évaluer les dérivées successives en r de hg, pour les porter dans 

 la série (5) obtenue à la fin de ma Note précédente comme expression du 

 potentiel ç des vitesses, cherchons à différentier n fois en :: le facteur va- 

 riable, — ^ ou — :5— > des éléments que donne pour /î„ la formule (i) ci-dessus. 



Or une différentiation en := se fait sans que varient .r, ni j, ni, par suite, R; 

 d'où l'on déduit aisément la formule symbolique 



(a) 



III. Commençons par le cas des ondes cylindriques, où l'expression à 



