58o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Posons, en général, 



(6) p,, = ('l^../dIL:Zl\cos«5+(-U-T---^-^^^)cos(n-2)5 



^ \ 2 -4 2 « / V 2 ,' \ 2 4 111 — a ' 



3\/i3 2« — 5\ , ,,, / 1 3 2/( — 1\ , 



47 Va 4 2/i — 4; Va4 2/i y 



L'expression — ^- d'où l'on est parti et la relation (5) se trouveront com- 

 prises dans la formule générale 



(7) ^^=(-)'-^-^;^|^IV 



Il suffit donc, pour démontrer celle ci, de faire voir que, si elle est vraie 

 pour une valeur de /î, elle sera vraie aussi pour la valeur suivante. Or, la 

 formule (2) de différentiation, a[)pliquée au second membre de (7), donne 



rf" cos^i , , I .2.3. . .(« -4- 1) /,, , sin{/ f/l'„ \ 



de sorte cjue la relation à démontrer est 



(8) P„+, = P,. cos 5 + ^^^ '-^ • 



On la vérifie aisément en ell'ecluant le calcul du second membre de (H ), 

 sur l'expression (G) de Pn ( ' )• 



Il importe de remarquer, dans (6), que chaque terme de P„ atteint sa 

 valeur absolue la plus grande quand ô ^ o, ou quand le cosinus y vaut i, et 

 que, tous les termes étant alors positifs, P„ est maximum. Orln valeur nulle 

 de G correspond k z = r, et la dérivée (« — lyime ç^ _ ^jg — ^ gg eonloiid 



alors avec la dérivée n'™" en r de ;> c'est-à-dire avec (— i/'~' ' " '.„ ,' ,' ' , 



ce qui, d'après (7), donne P„ = i . Ainsi, toutes les fonctions P„ de 0, (jiii 

 sont, au fond, des polynômes en cos6, se réduisent à l'unité pour = o cl 

 acquièrent alors leur valeur absolue la. plus grande. 



V. T.a dérivée n'""'' en ; de la seconde expression ( i ) de //„ est donc 



I . 2. 3. . . ( /( -4- I ) i'\',n.idin 

 '-"" -. J^^^- 



(') La foriiuile (8 ), joiiUe à l'|=:cos^, perniul aiih^i de recoiuiaitre que les (|iian- 

 lilés P„, expi'iinées eu fondions de cos9, ne sont autre cliose que les polynorne? dits 

 de Lesendre. 



