SÉANCE DU 7 MARS 191O. aSi 



Par suite, la formule ( .5) de ma XoLe précédente donne, pour le poten- 

 tiel Zi des vitesses, la valeur 



(9) 



C f dm r. 



fp,- 



r- 



3 



//*■■ 



( /( -I- 2 ) ( /( H- o ) . . . ( 2 /( -f- I ) 



..], 



et, pour sa dérivée en /, c'est-à-dire pour la dénivellation /i, le développe- 

 ment 



(10) h = 



^/^['■' 



o.b \ 



(rt-t-2)(/<-+-3)...( 



îmIt)'-] 



Considérons, par exemple, dans cette dernière formule, la série placée 

 sous le signe / . Le rapport, au terme général qui s'y trouve écrit, du terme 

 suivant où n -\- i remplacerait /?, y est, en valeur absolue, abstraction faite 

 des facteurs V;.... P„.,, au plus ég-aux à i, —-^ > ou, sensible- 



"^" "^- 1 ^ ' (2/i -f l)(2« -H 2) /■ ' 



ment, pour n très grand, -p^, quantité tendant vers zéro, quelque grande 

 que soit la valeur actuelle de t. Donc, les séries sous le signe / de (9) 



et (10) sont toujours convergentes, et ces formules expriment la solution 

 générale du problème. 



VI. C'est sous cette forme que l'aobtenue M. VergnedanssaThèse(p. 4^ 

 et 49)) après avoir reconnu que l'équation indéfinie (3) de ma précédente 

 Note indiquait le développement (5) de la même Note par la formule de 

 Mac-Laurin. 



Déjà Poisson, plusieurs 'années avant de faire son Mémoire sur les ondes, 

 avait eu l'occasion de voir que l'intégrale générale de cette équation bi- 

 nôme (3) se composait de deux parties comportant, chacune, une fonction 

 arbitraire, et que l'une de ces parties avait précisément le développe- 

 ment (5) par la formule de Mac-Laurin. Mais, lors de la rédaction de son 

 Mémoire sur les ondes, et bien qu'il y ait remarqué l'équation binôme (3) 

 dans le cas d'une profondeur infinie, il ne parait pas avoir songé à en faire 

 usage. Cela aurait, cependant, bien abrégé sa démonstration de deux for- 

 mules fondamentales du n° 34 de son travail, qui, ensemble, reviennent à 



