SÉANCE DU 7 MARS 1910. 597 



Cantor avait proposé un mode de mesure des ensembles qui, dans le cas 

 des ensembles fermés, donne le même nombre que la mesure de MM. Borel 

 et Lebesgue. Entourons cliaque point de l'ensemble d'un segment concen- 

 trique à ce point et de longueur ip, la même pour fous. Les points inté- 

 rieurs à l'un au jnoins de ces segments forment un domaine constitué par 

 plusieurs intervalles. La limite de la longueur totale de ces intervalles 

 quand p tend vers zéro est la mesure de l'ensemble au sens de Cantor. Nous 

 l'appellerons mesure C. 



Cette définition conduit à donner à tout ensemble la même mesure qu'à 

 son dérivé. 



On peut songer à perfectionner la mesure C des ensembles en posant le 

 principe suivant : si l'on réunit une infinité dénombrable d'ensembles deux 

 à deux distincts, la mesure de l'ensemble total ne doit pas excéder la somme 

 des mes.ures des ensembles constituants; et aussi le suivant, plus précis. 

 Décomposons E en une infinité dénombrable d'ensembles; formons la 

 somme des mesures de ces ensembles. La borne inférieure de cette somme, 

 quand la décomposition change arbitrairement, est la mesure de E. 



Après celte généralisation très naturelle, la mesure de Cantor coïncide- 

 t-elle avec celle de MM. Borel et Lebesgue pour tous les ensembles mesu- 

 rables B? D'après la structure de ces ensembles telle que je la décris ci- 

 dessus, il suffit de se poser cette question pour des ensembles de mesure 

 nulle. 



Appelons, avec M. Baire, ensembles de première catégorie sur un 

 ensemble parfait P un ensemble constitué par la réunion d'une infinité 

 dénombrable d'ensembles appartenant à P et non denses sur lui. Alors : 



Pour qu un ensemble de mesure B nulle ait aussi une mesure nulle dans le 

 mode de Cantor généralisé, il faut et il suffit que cet ensemble soit de première 

 catégorie sur tout ensemble parfait de mesure non nulle. 



Donc, le progrés essentiel et irréductible réalisé par la mesure de Borel- 

 Lebesgue sur celle de Cantor réside dans la mesure des ensembles de mesure 

 nulle; plus exactement, de ceux qui sont de deuxième catégorie sur au 

 moins un ensemble parfait de mesure non nulle. 



Toutes les fois que se présentera isolément un de ces derniers ensembles, 

 toute tentative de fusion des notions de mesure B et de mesure C, tout 

 essai de conversion de l'intégrale de Lebesgue en une infinité dénombrable 

 d'intégrales de Riemann, seront voués à un échec. (Ceci n'a aucun rapport 

 avec l'extension obtenue récemment par M. Borel de la notion de somma- 

 bililé due à M. Lebesgue.) 



