3()H ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Tout ce qui précède s'étend sans cliangement aux ensembles à plusieurs 

 dimensions. 



Dans un autre ordn^ d'idées, on sait qu'une fonction de .r est en général 

 (^ sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle) la dérivée de son intégrale 

 de Lebesgue prise entre x^ et x (x^ fixe). Soit / la longueur de la portion 

 de l'ensemble comprise entre A et le point M de AB dont l'abscisse est x. 

 l est l'intégrale de Lebesgue d'une fonction égale à un sur l'ensemble et 

 à zéro au dehors. Donc, cU '. clx est, en général, égal à i, si M est sur l'en- 

 semi)le et nul si M est hors de l'ensemltle. Donc, l'élément d'un ensemble 

 mesurable B est en général un infiniment petit équivalent à son support, si ce 

 dernier a son origine fixe sur l'ensemble et tend vers zéro. C'est un infiniment 

 petit d'ordre supérieur à celui de son support, si celui-ci a son origine fixe 

 hors de l' ensemble. Les points oii ces énoncés sont inexacts forment au plus un 

 ensemble de mesure nulle. 



De même, soit A{x,y) Taire de la portion d'un ensemble E^ mesurable, 

 à deux dimensions, comprise dans le rectangle limité par les droites X ^ o, 

 X = .r, Y ^ o, Y ^ y. Les points de Ej situés sur la droite \^ x entre 

 les ordonnées o et j' forment un ensemble en général mesurable ayant une 

 cerlaine longueur p[x, y), q{x, y) a une signification analogue, x el y 

 élant échangés, p est continu relativement 'a y, q relativement à x. On a, 

 sauf en un ensemble de points de mesure nulle A'^. = p, A'. -— y, et 

 ensuite^,. = y'^., la valeur commune de ces deux derniers nombres étant i 

 sur l'ensemble, o en dehors. Ces énoncés résultent aussi des théorèmes 

 de M. Monte! sur la condition d'intégrabilité de pdx-hqdy et me 

 paraissent en fournir une des applications les plus simples et les plus 

 générales. 



On montre encore que, p tendant veis zéro, si un domaine contenu dans 

 un cercle de rayon p et de centre fixe M a une aire supéiieure à A-p- (k étant 

 fixe), l'élément de Ej contenu dans ce domaine lui est équivalent en mesure, 

 si M appartient à Eo, est infiniment petit relativement à lui, si M n'appartient 

 pas à Eo. Cela peut être inexact en un ensemble de mesure nulle. 



De ceci résulte que le nombre appelé par M. Zoretti dans une Note 

 récente, ramification d' un ensemble parfait en un point, est partout égal à i 

 sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. 11 est d'ailleurs possible 

 qu'en ces derniers points sa connaissance rende des services. La ramifi- 

 cation en tout point d'un ensemble d'aire nulle est évidemment nulle, 

 puisqu'elle est l'intégrale d'une fonction nulle partout sauf aux points d'un 

 ensemble de mesure nulle. 



