SÉANCE DU 7 MARS 1910. 099 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le groupe symétrique et le groupe alterné. 

 Note de M. dk Skouier, présentée par M. Jordan. 



1. Considérons le système d'équations 



/ a^=:a, ^'=(3, (rtif')'-'=y, {ab-'aby—è, {ab^i ab'Y= Ej. 



\ c, (3, y, 0, £y sont permutables à a, b\ 



(S) ' ieslia; y = i,3,...,T, Tetantleplusgrandenlierl-; 



si < ^ 3," il faiil supprimer réquatiou (ab^J ab^ )-=z sj] 



si Z =: 2, il fiuil encore supprimer (ab~' aby^d, 



et le système (A) obtenu en adjoignant à (S) les équations 



I c'r^k, (acy=K, {cb-''ab"Y—-nA, 



(i) < (■ est permutable à a. [3, y, ô, £y ; A, Ç, y]/,. sont permutables à «, /y, c; 



' /i := I , . . . , ^ — 2; si < ;: 3, il faut supprimer {cb-'^ab'')-z^ri/i. 



Lorsqu'on réduit les seconds membres à i, (S) définit le symétrique de 

 degré t, et (A) l'alterné de degré n = / -4- 2 ( ' ). 



2. Le système des consécjuences de (S) entre a, [î, y, 0, £, =£,...,£,. 

 équivaut au système 



1£yi=£; £-=!«'; ô ::= «•" si / est impair; o =: «£ si < est pair; 



(3'-'-/'£'a"'=:i; 

 ,.„. , /=lilZll) si/ = 2.; ^^(^+0(r + 2) ^;^^^^^ 



'22 



t{l-i) , 



2 



Le système des conséquences de (A) entre a, [3, y, 0, £,, ..., e^, x, 'C, 

 "11! • • •! 'If-a équivaut au système (Au) formé de (So) et des équations 



(') L'équation (rtè)'-'=:i qui ligure alors dans (S) et dans (A.) avait été omise 

 dans un travail précédent (/. M., 1902); mais j'ai reconnu depuis qu'elle était néces- 

 saire. Je me servirai dans ce f|ui suit de la même terminologie que dans ma Note du 

 29 juillet 1907 (Comptes rendus^ t. CXLV, p. 3o3; au n° 3, il faut lire \j.^^i au lieu 

 de [i.=^i) et dans mes Eléments de la théorie des groupes abstraits (Gautliier- 

 Villars, 1904) auxquels je renverrai par la lettre E. 



