SÉANCE DU 7 MARS 1910. 60I 



ANA[.YSlî MATHÉMATIQI E. — Sur le développetnenl d'une fonctinn arbitraire 

 en séries procédanl suivant certaines fonctions fondamentales. Note de 

 M. W. SrEKr.oFF, présentée par M. I^nile Picard. 



Supposons que la fonction p(x) de l'équation (i) de ma Note précé- 

 dente (') reste positive dans l'intervalle (a, /)), et entendons par )^/, et V,, {x) 

 les nombres caractéristiques et les fonctions fondamentales correspondant à 

 l'équation (i), jointe aux conditions aux limites (3), où a, et bi satisfont à 

 l'un des trois types de conditions du théorème énoncé dans la Note que je 

 viens de citer. 



La méthode développée dans mon Mémoire : Problème de refroidissement 

 d'une barre Itétérogéne (^Annales de Toulouse^ 190 1, n"^ 15-18, p. 3oo-3o5 ) 

 s'est montrée applicable, presque sans changements, à toutes les fonctions 

 fondamentales tout à l'heure mentionnées. 



En appliquant cette méthode, on obtient tout d'abord la proposition 

 suivante : Quelle que soit la fonction f(^x), continue avec sa dérivée première 

 dans l'intervalle (a, b) et satisfaisant aux mêmes conditions aux limites que 

 les fonctions considérées \/,. (a;) (voir les équations (3) de ma Note précé- 

 dente), on a toujours 



r'' " r'' 



j p{x)p{x)dx^^Al, A,=J p{x)f{x)\',{.T)dx. 



" k = \ " 



De cette proposition on tire ensuite, moyennant la méthode indiquée 

 dans mes Mémoires : Théorie générale des fonctions fondamentales (^Annales 

 de Toulouse, 1905, p. [\i 1-419) et Sur certaines égalités communes à plusieurs 

 séries de fonctions, etc. (^Mémoires de l' Académie des Sciences de Saint-Péters- 

 bourg, 190 j, n°^ 5-9), ce théorème général : 



Théorème. — Quelles que soient les fonctions f(x') et o (x), intégrahles 

 dans l'intervalle (a, h), on a, pour toutes les fonctions fondamentales V;; (ii-) 

 de ma Note précédente, le développement suivant : 



r'' 



j p{x)/{x)cf(j,-)djc=^A,,B,„ 

 " /, = i 



A,,-=^ lji.r)f{.c)\,,(.c),l.i-, n,^-^f p{.r) '.{.>■) y, (,i:)dx. 



(*) Comptes rendus, si février 1910. 



