6o2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Il s'ensuit immédiatement le théorème suivant : 



Théorème. — T ouïe suite de fondions fondamenlales dont l'existence est 

 établie dans ma Note précédente est fermée, pourvu que la fonction p (^x^ reste 

 positive dans l'intervalle donné (a, b). 



11 est évident, en effet, que toute suite de fonctions V/,(.r) orthogonales et 

 normales satisfaisant à l'égalité (i) (l'égalité caractéristique) est nécessaire- 

 ment fermée (' ). 



L'égalité caractéristique (i) conduit ensuite à ce théorème : 



Théorème. — Soit V^(.'r) (A" = i, 2, 3, . . .) l'une des suites de fonctions 

 fondamentales satisfaisant aux conditions (3) de ma Note précédente, 

 où ai, bj sont des constantes appartenant à l'un des trois types signalés dans 

 cette Note {Comptes rendus , 21 février 1910). 



Toute fonction fi^x) continue admettant la dérivée première dans {a, b) 

 et satisfaisant aux mêmes conditions aux limites que les fonctions Y^ (x) se 

 développe en série uniformément convergente de la forme 



/ = 1 " 



Pour établir ce théorème, il suffit de répéter, avec des modifications 

 légères, les raisonnements du n° 22 de mon Mémoire : Problème de 

 refroidissement, etc. (p. 3oy) ainsi que ceux de ma Note : Sur un problème 

 (V Analyse intimement lié avec celui de refroidissement d'une barre hétérogène 

 {Comptes rendus, le 8 avril 1907). 



Dans certains cas on peut s'affranchir de la restriction que la fonction f (x) 

 satisfasse aux mêmes conditions aux limites que les fonctions Y^ (x), ce qui a 

 lieu, par exemple, pour toutes les fonctions fondamentales correspondant 

 au troisième type de conditions aux limites de ma Note précédente. 



Les résultats généraux que je viens d'indiquer dans ces Notes contien- 

 nent comme des cas particuliers plusieurs résultats obtenus récemment par 

 d'autres auteurs à l'aide de méthodes différentes. 



Je remarquerai, enfin, que la méthode adoptée dans ces Notes s'étend 



(') 11 en résulte que tous les systèmes de fonctions d'une, de deux et de trois 

 variables, énumérés dans mon Mémoire déjà cité : Sur certaines égalités géné- 

 râtes, etc., sonl fermés. 



