SÉANCE DU 7 MARS 19IO. ()o3 



aussi à certaines équations linéaires aux dérivées partielles, par exemple à 

 l'équation connue 



OÙ />(if, y, z) est une fonction assujettie à une seule condition d'être 

 continue dans un domaine donné. 



ANALYSE MAïHÉMAllQUE. — Dc\'eloppemenls suivant certaines solutions sin- 

 gulières. Note de M. Joseph 3Iarty, présentée par M. Kmile Picard. 



Conservant les notations de ma précédente Communication ('), je vais 

 montrer comment il est possible d'obtenir certains développements (-) sui- 

 vant les solutions singulières de l'équation intégrale (i). 



Des fonctions '^/fÇx), •\/.,(x), ..., telles qu'il n'existe aucune de leur 

 combinaison linéaire, en nombre fini, non identiquement nulle, qui soit 

 conjuguée à elle-même (c'est le cas pour les solutions singulières) peuvent 

 se remplacer par un système linéairement équivalent de fonctions ^, (a*), 

 ^2(^), . . • , conjuguées deux à deux et normées, c'est-à-dire telles que 



/■/ 



M^; y) 9p{-'-)?,,iy)(i {■>;}■) 



o p^q' 



dans ce qui suit nous supposerons les solutions singulières ainsi normées. 

 On aura alors, pour une fonction /"(a;) intégrable et de carré intégrable, 

 en posant 



la relation 





/(.')-2 A ?/.{,>') \(i(^;y) 



=ff 



^(■>;y)f{-r)Ay}-2,/l, 



et, par suite, la somme V/j' converge; l'intégrale I„ a une limite pour 



• fi • ''=' 



n innni. 



(') Comptes rendus, 28 février 1910. 



(2) Cf. HiLBF.RT, Gi/tl. JSachrichten, rgoG, p."462-472. 



C. R., 1910, I" Semestre. (T. 150, N° 10.) 81 



