(■)a/| ACADÉMIR DES SCIKNCRS. 



Kn posant 



/(.r) = A(.r)k(.r, ;), 

 OU ol)lienl : 



i" Le nombre des solutions singulières linéairement indépendantes cor- 

 respondant à une valeur singulière A est fini ; 



2" La série des inverses des cubes de toutes les valeurs singulières, 

 comptées chacune avec son ordre de multiplicité, converge absolument; 



3" La série y ^^y^-^ converge uniformément. 



D'autre part, si le noyau K(a7, /) a 1» solution singulière 0|(r), on 

 montre aisément que 



?i('^')?i(7) 



G 



{.r,j)=:K(a-,j) — ^ 



\K{.x)\{y) 



est défini et les noyaux G et K ont les mêmes solutions singulières pour les 

 mêmes valeurs singulières, sauf 9, (.r) qui n'appartient pas à G. 



Comme application immédiate, dans le cas où le nombre des valeurs sin- 

 gulières est fini, on a 



/■ = ' 

 H(a7,^) n'ayant aucune solution singulière, c'est-à-dire 



i\\{.r,l)K(l)\\{t,y)dl = o, 



d'où ( • ) 



Des propriétés indiquées plus liaul on déduit la convergence pour/)^'i 

 des séries 



et l'inégalité fondamentale jointe à l'inégalité qui s'en déduit 



(«) ff^{-'--.y) "(■'■) "i.r)'fi-r,y)i/ I j K'-(.r,y),/{x,y) 



'^j dx\ j K(.r,y)„{y)(ly\ . 



(')Cf. /<„: ci/., |.. ',7 



