SÉANCE DU 7 MARS I910. 6o5 



pernicl de montrer que 



De la même manière, si la série So(.r,y) converge unilorniémenl, elle 

 esl égale à K^(a', y). 



De ces développemenls on déduit la conséquence qu'une fonction /iÇl'), 

 conjuguée à toutes les solutions singulières de (i ), esl telle ([ue 



I K.AJ-,y)/i{Y)(/y~o. 



Etant don.iiée une (oucùon f(x) par la relation 



/( u-) = A(.r)J'K,{.r. y)A-{y)dy, 



g( y) étant continue comme A(,v), la série 



,v(.r) rzry,cp,(j;) -+-/,9,(,l-) +. . . 



converge uniformément; cette série est égale ^/(x) ( '); la démonstration 

 se fait en écrivant 



J(^-):=A{x)jh(x,y),/{y)dx, 

 puis en posant 



'/(-'■) = 7191 <■*■) + '/2?2('«-) + •••+ '/«?"(-*■■) + '\.{J--); 



tenant compte de la formule trouvée pour le développement de K.j(x,y), 

 on voit que 



J jK{j:.y)r„{.v)r„{y)ci{.i-,y) 



tend vers zéro, propriété (pii, jointe à la relation (a), iiumlre (jue 



I W^x,y)r„{y)dy 



tend vers zéro. 



D'une manière analogue, si une fonction / ( x ) est égaie à 



f{a;) = \(,x)JK{j.;y)^'iy)dy, 

 on pourra écrire 



( ' ) Cl', /oc. cit., |). 170. 



