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pourvu (jue la série du second membre convcrg;e uuiformémenl, et la fonc- 

 tion h(x) sera telle que 



jK(a;,r)/i{Y)dy = o. 



En particulier, si le noyau K(.r, y) csl ferme, la série sera égafe à la 

 fonction /(a). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Contribution à la géométrie des courbes 

 planes générales. Note de M. Sir>isMO?iD Janiszewski, présentée 

 par M. Appell. 



TuKORKMi: A. — Soil C une courbe /ilanr, qui a au plus un nombre limité de 

 points ou de segments communs avec chaque segment de longueur finie d'une 

 droite arbitraire ; je dis que C a au moins une tangente en chaque point. 



Je nomme courbe un ensemble de points continu (au sens de G. Cantor) 

 ei sans points intérieurs; arc, une courbe faisant partie d'une autre courbe; 

 arc simple AB, un arc comprenant les points A et B et tel qu'on ne peut lui 

 enlever aucun point sans qu'il cesse d'être un arc ou de contenir A et B. 



Je nomme tangente à une courbe au point A une droite / telle que pour 

 chaque angle S (aussi petit qu'on veut) on puisse trouver un cercle de 

 centre A assez petit pour que la droite AM fasse avec / un angle plus petit 

 que pour chaque point M, situé sur un arc de la courbe intérieur au 

 cercle en question et contenant A, mais tel que l'arc simple réunissant deux 

 de ces points ne contienne pas A. 



Considérons une suite de cercles y,, Yn, ... de centre A el de rayons p,, 

 p.j, ...; soit limp„=o. Considérons encore sur C un point P et un arc 



simple r, joignant? à A. L'existence de F est garantie par le théoième 

 suivant, facile à démontrer : Sur une courbe quelconque il existe toujours 

 au moins un arc simple joignant deux de ses points donnés. Soit P„ un 

 point de V entre y,, et y„+, ; et soit c„ un arc, composé de tous les points 

 de C qui sont réunis avec P„ par des arcs intérieurs à y„ et ne contenant 

 pas A. La tangente sera définie au moyen de la suite des c„ et dépendra 

 donc uniquement du choix de l'arc F. Soit enfin c^, la partie de c„ située 

 entre yn et y«+i- Menons le diamètre AP„ el déterminons le plus grand 

 angle de sommet A qui renferme le rayon opposé au rayon AP„ et ne ren- 

 ferme aucun point de c',. Cet angle peut être égal à zéro, mais il est toujours 



