SÉANCIi: UU 7 MARS 1910. 607 



cl(''leriiiiné. Soient 1*), el PJ, les points dec,',, situés respectivement sur l'un 

 et l'autre côté de cet angle. Je dis que AP„ et AP), tendent pour n inlini- 

 nient grand vers une droite limite commune /, et que l est une tangente 

 de C. 



Supposons que la droite / n'existe pas. Alors, ou AP^, et AP^Î tendent 

 vers des limites diil'érentes; ou l)ien l'une d'elles au moins, AP',", ne tend 

 vers aucune limite. Dans ce second cas, l'ensemble de demi-droites AP^" a 

 au moins deux demi-droites limites ( ' ). Un des deux angles qu'elles forment 

 est entièrement couvert une infinité de fois par des angles PJ,APJ, (par 

 l'angle P^AP^ j'entends celui qui contient P„ à l'intérieur). Car deux angles 

 consécutifs P^,APJ, et P,',^, AP^^^, doivent avoir une partie commune; sinon 

 c,', et c^,^, n'auraient pas de points communs, ce qui est évidemment impos- 

 sible. Il est donc clair que dans chaque cas il y aura une droite g passant 

 par A et contenue dans l'angle P^^APJ, pour une suite infinie de valeurs 

 de « : «,, /?2, .... 



Il existe par hypothèse un arc c, réunissant P„^ et P), , mais ne contenant 

 pas A. Soit 0, la plus courte distance de A à c^ et soit p*, <C ^i ; ^'x désignant 

 des nombres contenus dans la suite «,, n.,, .... A p^^ correspondent P^^ et 

 P^' , c^ , 0^, et à Oo correspond p;, . Continuant ainsi, nous obtiendrons une 

 suite infinie d'arcs c,, c^ , q > ••• sans points communs et dont chacun est 

 coupé par g. Alors, il y aurait sur un segment de longueur p, de ^ un 

 nomlire infini de points de C conlre l'hypothèse. Donc, la droite / existe. 



Pour chaque £ positif donné on peut trouver un entier N tel que l'angle 

 de / avec AM soit plus petit que £, lorsque M est un point de Cy. 11 suffit de 

 prendre N tel que tous les angles P^^^;. Ai et Pl^^^ A/ soient plus petits que z. 

 Donc ^est une tangente à C en A. 



Thkoiiéme B. — Une courbe C, n'ayant, dans un domaine Jlni quelconque, 

 (fu un nombre fini K de points multiples et jamais plus de N (^entier positif 

 //.le ) points communs avec une droite quelconque parallèle à l une de deux 

 directions fixes otet ^, est rectifiable. 



.le nomme multiple un point A, si l'on peut trouver plus que deux arcs 

 simples se terminant en A et n'ayant pas d'autres points communs. 



Lkmme 1. — Une ligne polygonale \j renfermée dans un losange de côtés 



(') Dans le sens de la lliéorie des ensembles {llâufiingxstelle). 



