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de longueur d et ii'ayanl jamais plus de N points romnmns aire une droite 

 parallèle à un des cotés du losange a une longueur plus petite que \ Nd. 



Divisons les segments de L en deu\ classes : la première, composée de 

 scgmenls, qui font un angle plus petit avec Tun des côtés du losange (que 

 j'appelle le premier) qu'avec l'autre; et la seconde classe, composée de tous 

 les autres. Nous projetons les segments de la première classe sur le premier 

 côté par des droites parallèles au second côté; et les segments de la 

 deuxième classe d'une manière analogue sur le second côté. Soit a' la 

 projection d'un segmenta. Il est évident cjuc 



a < 2a' (îi V „' ., N'/ 



("parce <jue les a' d une classe ne pensent couvrir le côté correspondant du 

 losange plus de N fois). D'où 



Il est facile de démontrer le : 



Lemmk 2. — Soient n le nombre de points d intersection il une droite a\ec 

 une courbe quelconque et m le nombre correspondant pour la même droite 

 et une ligne polygonale inscrite, cest-à-dirc formée de cordes de la courbe, 

 de telle /ai,on qu'à un point quelconque <le la courbe corresponde une et 

 une seule de ces cordes, sauf pour les points communs à la courbe et aux 

 cordes. On a ni i n. 



Je reviens au théorème 15. Considérons un losange de côtés parallèles aux 

 directions a et j5 et qui renferme C. Soit d la longueur de son côté. Je divise 

 ce losange en i-" losanges congruents. La longueur totale des lignes poly- 

 gonales quelconques inscrites aux arcs intérieurs aux losanges partiels, 

 contenant les points multiples, est plus petite que -^-^^ KX^; elle tend donc 



vers zéro avec -• H y a au plus 4 N arcs, restant à l'intérieur et ayant leurs 

 extrémités sur la périphérie de chacun des autres losanges partiels. Chacun 

 de ces arcs n'a que deux extrémités. Enjoignant les extrémités appartenant 

 au même arc, j'obtiens une ligne polygonale inscrite, dont chaque segment 



est plus petit que -;^, • Quand n croit, sa longueur totale L„ ne décroît 

 jamais cl reste toujours plus petite que 'i N^/. Donc lim L„ existe. Cette 

 limite est la louiiueur de C. 



