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ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains syslètnes d'équations fonctiunnelles 

 et V approximation des fonctions continues. Note de M. Frédéric Riksz, 

 présentée par M. Emile Picard. 



1. Appelons classe [L^] la totalité des fonctions /(a-), réelles ou non, 

 définies sur l'intervalle {a,b), sommables et telles que \f\^ est sommablc. 



Nous supposons />>i. Les classes [L^"] et [L''~'J sont intimement liées; 

 entre autres, le produit de deux fonctions quelconques dont l'une, /(-r), 



appartient à la classe [L^"], l'autre, g(x), à la classe [L''"'J, est toujours 

 sommable, et l'on a 



£ [/(x)]/-./..!' / u-(^)i'-'f/.l 



(i) I f{a:)g{x)dx 



Envisageons le système d'équg^pns 



(2) J f,{œ)i{œ)dx = Ck 



les fonctions données /;t(^) appartenant à la classe [L''], nous assujettissons 



la fonction cherchée ^ (ic) à être de classe [L''"'J. Si le système (2) admet 

 une telle solution, et si pour cette solution on a 



{k 



• ); 



(3) 



/'■ 



\l(x)Y~' dxlMf-', 



on en conclut, en se servant de (1), que l'inégalité 



(4) 



2 f^A/A(-r) du 



a lieu quels que soient n et les nombres, réels ou non, [x^. Ainsi, la validité 

 de l'illégalité (4) est une condition nécessaire de ce que le système (2) admette 

 une solution telle que (.i). Dans un Mémoire qui est sous presse, j'ai montré 

 que la même condition est aussi suffisante. 



Dans celte iN'ole je vais traiter un cas limite. 



2. Supposons les/^(a:;) continues et tentons d'élargir les conditions por- 



