SÉANCE DU l4 MARS 19ÎO. 675 



tant sur la fonction cherchée. Les résultats concernant la représentation 

 des opérations linéaires par des intégrales de Stieltjes que j'ai développées 

 il y a quelque temps dans ces Comptes rendus (29 novembre 1909) nous 

 suggèrent de substituer au système (2) le système 



(5) 



/ //.■{■x)doi.{x)-=Ck (k 



nous assujettissons la fonction cherchée a (a;) à être à variation bornée. 

 Maintenant Vinégalité 



(6) 



2^^*' 



£ M X max. 



"SF/^/a^-) 



exprime une condition nécessaire à ce que le système (5) admette une solu- 

 tion a. (a;) dont la variation totale ne surpasse pas M ; l'inégalité doit avoir heu 

 quels que soient le nombre entier n et les nombres réels ou non M^. 



Nous allons voir que cette condition est aussi suffisante. 



3. Envisageons d'abord le cas particulier d'un nombre fini n d'équations. 

 Supposons la condition remplie. Remarquons qu'une fonction continue/(a;) 



appartient à toutes les classes [L^] et que, - tendant vers o, les valeurs 



r > -.1 



/ !/(*■) K*^-^ I tendent vers le maximum de [/(■*')](')• Ajoutons encore 



que si l'on pose_/(.c) = V \>-kfk{^) ^^ si l'on assujettit les [i.;^ à ne pas sur- 



A = i 



passer en valeur absolue une certaine borne finie, cette convergence est 

 uniforme. Tout cela se démontre d'une façon assez élémentaire. On en 

 conclut aisément que, quelque petite que soit la quantité positive e, on a 

 pour les valeurs de p suffisamment grandes 



i^kCk 



:{M +t) 



r 



^y-kfk{x) 



dx 



Or nous l'avons vu pUis haut, cette inégalité exprime précisément la con- 



{') Il me faut remercier M. E. Fischer d'avoir attiré mon attention sur ce fait 

 intéressant. 



