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dition pour que le système 



/ 



fk{-x)l{.r)dj; = Ck (Â = 1,2, /;) 



admette une solution ^(x) telle que (3), M étant remplacé par M + £. 



Posant a (a;) = / \{x)dx, on a une fonction ix{x) à variation totale 



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 t(b — a)p(M-h e), solution du système (5). 



Pour en déduire une solution, dont la variation totale ne surpasse pas M, 

 faisons tendre i vers o. On aura ainsi une suite de fonctions ae(^) à variation 

 bornée, bornées dans leur ensemble, dont chacune satisfait au système (5); 

 et quelque petite que soit la quantité positive 0, on est sûr que pour e, suf- 

 fisamment petite, la variation totale de y.c{x) ne surpasse pas M ■+- S. On en 

 conclut l'existence d'une solution a (a-) dont la variation totale ne surpasse 

 pas M. Pour définir une telle fonction, il suffit d'envisager la suite des fonc- 

 tions Ae(a:) = / 0L^(x)tlx, également continues et bornées dans leur en- 

 semble; on en tire, à l'aide d'un artifice bien connu, une suite partielle 

 j A,(a7) = / a,(it) dx qui tend uniformément vers une fonction continue 



A(a;). On reconnaît aisément, en appliquant le critère donné dans ma Note 

 déjà citée, que A(a7) est l'intégrale d'une fonction a (a?) à variation bornée 

 dont la variation totale ne surpasse pas M. Des considérations analogues à 

 celles dont je me suis servi dans la Note citée, font aussi voir que l'intégrale 

 de f(x)da.i(x) tend pour i = 00 vers celle de/(x) d(x.(x), quelle que soit la 

 fonction continuey(j;). On en conclut, en particulier, que a (x) satisfait au 

 système (5). 



4. Quand le système (5) se compose d'une infinité dénombrable d'équa- 

 tions, on applique le résultat que nous venons d'établir, aux systèmes partiels 

 finis de (5). D'après ce résultat, la condition (G) étant supposée remplie, 

 il existe pour chaque n une solution a''''(^) des n premières équations, dont 

 la variation totale ne surpasse pas M. Par le même procédé que nous venons 

 d'employer pour les fonctions oi^(x), la suite [a'"'(j;)j conduira à une fonc- 

 tion a,' (x), satisfaisant au système complet (5) et dont la variation totale ne 

 surpasse pas M. 



On sait aussi bien que le cas d'une infinité dénombrable d'équations repré- 

 sente le cas général. Cela revient au fait que chaque ensemble non dénom- 

 brable de fonctions continues contient un sous-ensemble dénombrable tel 

 que chaque fonction de l'ensemble primaire en est fonction limite. 



