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A une même surface répondent d'ailleurs une infinité de systèmes 

 d'entiers [n, />,] qui se rattachent aux transformations birationnelles 

 n'altérant pas la surface de Kummer : il convient tout d'abord de caracté- 

 riser ces systèmes équivalents. 



Une telle' transformation birationnelle fait correspondre à la famille 

 linéaire de courbes définie par l'cfjuation 0(m,(>) = o une autre famille 

 d'équations 6'(«, (') = o : les entiers [/',/^| et [/î,/?/] associés respecti- 

 vement aux fonctions (){ii, r) et 0'(«, c) sont liés par une substitution 

 linéaire à coefficients entiers 



' P/. = ^k '> — «î /^i — • • • — «* Pu 



Celte substitution laisse invariante l'expression 2 n^ — '^pj qui repré- 

 sente le degré du système linéaire de courbes caractérisé par les entiers 



elle jouit en outre de la propriété de donner des valeurs n', p'., ..., p\^ 

 positives pour tout système d'entiers n,p,, ..,, jo,„ attaché à une courbe 

 irréductible d'équation Ô(m, v) = o. 



Inversement, étant donnée une substitution linéaire T jouissant de ces 

 propriétés, on peut démontrer que la surface dont les coordonnées d'un 

 point sont proportionnelles à quatre fonctions thêta de u, »' caractérisées 

 par les entiers 2 oJJ ; 2^7", ..., 2«",., est du quatrième ordre et possède 

 seize points doubles, et l'on déduit de là que les difierents systèmes 

 d'entiers [/?', p[\ homologues d'un même système par les substitutions T 

 ne définissent pas des surfaces distinctes. 



Ceci posé, un système [«,/>,] sera dit réduclihie par une substitution T 

 si le système homologue [/î',yj',] est tel que n <^ n : d'après ce qui précède, 

 on peut se borner, dans la recherche des surfaces représentables sur celle 

 de Kummer, à envisager les systèmes irréductibles. 



Parmi les substitutions T, nous en considérons trois particulières : la 



substitution T' 



n =z in — 2/>, 



p\ — !in — ;^/5, 



p'j=-Pj = 2, 3, ..., 16), 



qui se rattache à la transformation birationnelle associant les couples de 



