SÉANCE DU 21 MARS 1910. 767 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur quelques nouvelles familles de Lamé. 

 Note de M. J. Haag. 



Dans une Note insérée dans les Comptes rendus du 22 juin 1891, M. Petot 

 a indiqué comment la recherche des systèmes triples orthogonaux composés 

 de surfaces dérivant de trois d'entre elles par une translation rectiligne con- 

 ■ tinue se ramène à la détermination de certains systèmes sphériques ortho- 

 gonaux ((t), caractérisés par un élément linéaire de la forme 



, , à'/. , , d't. , , 

 ou âv 



OÙ les variables u et t' sont convenablement choisies. (Nous leur donnerons 

 le nom de i^ariables canoniques.) 



Ce géomètre signale comme système (tr) particulier le système des 

 ellipses et hyperboles homofocales et celui qui se compose de deux familles 

 de cercles orthogonaux . Comme il n'a rien publié à ce sujet, je me suis pro- 

 posé d'étudier ces systèmes particuliers, tout en les généralisant. J'ai été 

 conduit aux résultats suivants. 



I. Systèmes (a) comprenant une famille de petits cercles. — On trouve 

 d'abord que les plans de ces petits cercles doivent être parallèles à une 

 même droite, O^ par exemple. A part cela, ils peuvent être choisis arbitrai- 

 rement, de sorte que si cosp et X désignent les coordonnées polaires dans 

 xOyàn centre d'un quelconque des petits cercles, p es t une fonction arbitraire 

 de X. On sait qu'à toute direction OT correspond une surface S et une seule 

 (à une homothétie près), qui admet (a) pour représentation sphérique de 

 ses lignes de courbure et qui engendre une famille de Lamé dans une trans- 

 lation parallèle à OT. 



Pour que la surface S soit un périsphère, il faut et suffit que la direc- 

 tion OT soit perpendiculaire à Oz. La surface S, qui correspond à Ox, par 

 exemple, a pour équations 



-^1=:— sin-X cosjut — / (cotp sin'/ ■+- tangp cos*>i)dX, 



ji=: sin>, cosÀ cosp. -+- / cotap sin2>i dk, 

 5,=: sin)i cosf/., 



où [X désigne une variable auxiliaire qui a une signification géométrique 

 très simple. 



