770 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Etant donnée une telle transformation, on peut d'abord la décomposer 

 en un produit d'une transformation modulaire (qui ne changera que les 

 premiers quotients du développement) et d'une transformation définie par 

 le Tableau à coefficients entiers 



a — X 



o b 



avec les conditions 



a6 = K, o5a7<6. 



Je me contenterai de traiter le problème pour cette dernière transforma- 

 tion, en supposant en outre x tia premiers entre eux ('). 



2. Soit alors | le transformé de -j. ^ étant supposé plus grand que i et 



soit en outre -^ un quotient complet de -^^ Je supposerai essentiellement 

 qu'on peut trouver un tel quotient supérieur à 2K. On peut écrire la 

 relation entre -^ et ^ sous forme d'égalité entre Tableaux 

 « _ P„ P„-, a„ 



En multipliant à droite par le Tableau ( i ) on trouve 



y a — .r a. a — x P„ Pn-i ^n 



ô~o 6^(3^o b Q„ Q„_, ^p,,' 



L'artifice consiste alors à remplacer le premier produit du deuxième 

 membre en se servant de l'égalité 



a — X P„ P„_i S S' a, — y 

 o 6 ^ Q„ Q„_, "" T T' o i, 



a,, i|, y seront déterminés de façon unique par la congruence et les condi- 

 tions 



( (P„«-.rQ„)j-(P„_,«-^Q„_,)«i=o (K), 

 1 «,6. = R (o</<i), 



y et rt, étant premiers entre eux. Les nombres S, S', T, T' seront alors des 

 entiers dont le calcul est facile et sur lequel je n'insiste pas. En posant 



' = X 



o,„ O ^, 3„ 



^ ' ) S'il n'en était pas ainsi, on pourrait la décomposer en un produit de deux autres 

 vérifiant chacune celte condition. 



