SÉANCE DU 21 MARS 19IO. 77 I 



on peut démontrer sans difficulté dans le cas considéré que 4^ est un quo- 

 tient complet, ou une fraction convergente intermédiaire de (- On aura 

 par suite les premiers quotients incomplets en décomposant le Tableau 



en un produit de Tableaux " . . 

 T T' ^ 10 



3. On peut appliquer à nouveau le procédé au calcul de 4^) il suffit de 

 trouver un nouveau quotient complet -^^ supérieur à 2K, et ainsi de suite. 



Pn + h 



Le procédé sera indéfiniment applicable et donnera par suite le développe- 

 ment de X dans le cas où -^ a une infinité de quotients complets supérieurs 



à 2lv ou, ce qui revient au un* me, de quotients incomplets supérieurs 

 à 2K — I . 



4. Par l'application de cette méthode, j'ai pu démontrer un certain 

 nombre de propriétés et particulièrement les deux suivantes : 



a. Sij à partir d'un certain ra/ig, certains quotients incomplets d un 



nombre ^ se reproduisent périodiquement et si les autres, tout en augmentant 



indéfiniment ont, relativement à tout module entier, des restes se reproduisant 

 périodiquement , la même propriété est encore vraie pour toute transformée 



homographique de -, àcoefficients entiers et de déterminant différent de zéro ( ' ) . 



C'est, en particulier, ce qui se produit pour toute fonction homographique 

 1 



de e'", n étant un nombre entier. Les quotients incomplets se répartissent 



alors à partir d'un certain rang en plusieurs progressions arithmétiques. 



b. Etant donnés deux nombres -^ et ( liéshomographiquement, pour n suf- 

 fisamment grand, à tout quotient incomplet a„ de -x supérieur à 2K — 1 cor- 



r 



respond un quotient incomplet b,„ de \ compris entre ^ — 2 et Iv(a„-|- i), 



.PS 

 et réciproquement. En outre, si ^y^ et =r^ sont les réduites précédant ces 



quotients, dans chaque développement T,„ est compris entre ~ et KQ„, et 

 réciproquement. 



(') Une propriété analogue a été énoncée par M. Hurwilz ( Viertelj. Nalurf. Ges., 

 Zuricli, 1896), de même qu'une méthode de transformation différente de celle indiquée 

 dans celte Note. 



C. n., 1910, I" Semestre. (T. 150, N" 12.) ïo3 



