SÉANCE DU 21 MARS 1910. 778 



Le calcul de G pourra donc toujours s'elTecluer par la méthode de Neumann. Si les 

 jjarois ont des directions quelconques, la frontière de \\ présente une arête angu- 

 leuse (') le long de la courbe C commune a 2 et àS; mais, lorsque les parois sont ver- 

 ticales en chaque point de G, cette ligne anguleuse disparaît et la méthode de Fred- 

 holm est immédiatement applicable. 



En second lieu, la fonction G relative au liquide limité ne diffère de celle qui est 

 relative au liquide indéfini, c'est-à-dire de la quantité définie par la formule (3) de 

 la Note précédente, que par un ternie /i analytique et holomorphe par rapport aux 

 coordonnés de M et de P, nicnie lorsque ceii.r-ci coïncident, pourvu qu'ils n'appar- 

 tiennent pas à la courlje C. 



Ce second fait (mais non le premier) s'étend de lui-même au cas oi'i le 

 champ de forces n'est pas uniforme (de sorte que S n'est plus un plan), 

 ainsi qu'il arriverait si l'on voulait appliquer ces considérations à la théorie 

 des marées. 



Il est fondamental au point de vue du calcul de -r4- Il montre, en effet, 



que, pour obtenir la nouvelle valeur de cette quantité, il suffit d'ajouter au 

 second membre de la formule (4) (voir la Communication précédente) le 



terme — f j z ■ ■ </S ( la dérivée seconde de H étant prise par rapport 



aux deux déplacements normaux de M et de P). 



On achève le calcul sans difficulté dans le cas d'un liquide remplissant un 

 récipient hémisphérique, puisque V, est alors une sphère pour laquelle la 

 fonction de Neumann est connue. 



On reconnaît, sur cet exemple particulier, que -j^ est en général (loga- 



rithmiquemcnt, infini au voisinage de C, même lorsque z est fini. Il en résulte 

 que les solutions admel/enl, en général, le long de cette courbe^ des sini^ttla- 

 rités dont la nature reste à étudier. 



Ici encore la question se pose de savoir si z vérifie une écfuation aux déri- 

 vées partielles analogue à (5). En raison des singularités auxquelles je viens 

 de faire allusion, je nai étudié cette question que pour une catégorie parti- 

 culière de solutions s, celles qui sont telles (à l'instant considéré) que -t-4 

 soit régulier le long de C. On trouve dans cette hypothèse (en dirigeant le 



.(') C'est la difficulté qui a arrêté M. ^erglle (voir p. 55, 72 de la Thcsc ciiéu). 

 l'.lle n'est pas essentielle dans notre manière de procéder, la méthode de Neumann 

 continuant à s'appliquer dans les conditions où nous nous sommes placés. 



