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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la représentation sphérique de certaines 

 familles de Lamé. Note (') de M. J. Haac. 



Voici des généralisations, qui me semblent intéressantes, des résultats que 

 j'ai publiés dans \cs Comptes rendus au 22 novembre et du 27 décembre 1909. 



Proposons-nous d'abord la question suivante, qui est une extension de 

 notre Note du 3 août 1908 : 



Trouver toutes les familles de Lamé, composées de surfaces ayant pour re- 

 présentations sphériques de leurs lignes de courbure, des réseaux orthogonaux 

 égaux. 



En nous appuyant sur une proposition qui nous a été communiquée der- 

 nièrement par M. Pelot, nous sommes arrivé aux résultats suivants : 



Imaginons un trièdre Oxyz, pivotant autour de son soi«met O et entraî- 

 nant dans son mouvement un réseau sphérique orthogonal {s). Soient c, 

 c', c" les coordonnées, relatives à ce trièdre, du point m de la sphère où se 

 coupent les deux lignes de paramètre u et c; et soient r et r, les rotations, 

 relatives à mZ, du trièdre mXYZ attaché à chaque point m par le réseau (s). 

 Soient enfin X, jx, v les projections sur O.ryz du vecteur instantané de ro- 

 tation, relatif au mouvement de ce trièdre par rapport à un trièdre fixe 

 Ox^y,z,. Pour que les différentes positions du système (s) puissent servir 

 de représentations sphériques aux lignes de courbure des surfaces d'une fa- 

 mille de Lamé, il faut et il suffit qu'on puisse trouver une fonction A de u 

 et t et une fonction B de v e\, t (t désigne le temps dans le mouvement du 

 trièdre Oxyz), telles que l'on ait 



(i) c^ 4- c'fjn- c"v = /-A H- /•, B. 



Cette relation est très facile à discuter, si l'on remarque que c, c', r", r, r, 

 sont indépendants de t. On peut en déduire très facilement les conditions 

 nécessaires et suflisantes auxquelles doit satisfaire le système (s), ainsi que 

 le mouvement du trièdre Oxyz et les p^ des systèmes triples orthogonaux 

 correspondants, lorsque ces conditions sont remplies. Nous publierons 

 autre part les résultats auxquels nous avons été conduit. 



( ' ) Keçue dans la séance du 29 mars 1910. 



