SÉANCE DU II AVRIL I910. 897 



nous avons d'abord étudié complètement le cas simple 



(i) -^-hAey=o (X = const. positive), 



en recherchant les intégrales s'annulant en a et b. 



Soit a = o. En étudiant directement la solution de l'équation (i^ ([ui 

 satisfait aux conditions j(o 1 = o, r'(o) = m et fu posanl m'- -f- 2 A = 2A/, 

 on trouve que cette solution passe par un maximum égal à log-/ pour 



et qu'elle s'annule de nouveau pour 



(2) 



a- — b= 2i/^log(v/7 + v/«— 1). 



Pour x'^ b, y reste négatif. 



Soit, d'autre part, t = 3 , 27 . . . la racine réelle unique de l'équation 



(3) 



iog(\/^ + \/' - ' ) = y/Tzri ' 



et soit j3 = — = (/< = 1 ,87 . . .) la valeur de b pour t:=z. 



s/'k 



Pour X > o on a / > I et l'on voit que b, nul pour / = i , augmente, avec /, 

 jusqu'à la valeur p, où il arrive pour / = t. 



Pour i > T, 6 diminue et tend vers zéro lorsque t augmente indéfiniment. 

 L'ordonnée maximum de la solution j croît toujours avec /. On a donc le 

 résultat suivant : l'équation (i) admet 



2 solutions pour 6 < |3. 



1 » » b — ^, 



o ., » 6>j3. 



D'autre part, nous savons que les solutions de l'équation (i), qui s'an- 

 nulent en o et è, satisfont aussi à l'équation intégrale non linéaire 



(4) y(x) = lj G{x.i)eyi^)dl 



G(^x, ^) étant la fonction connue de Green. Si b est fixe, en posant X, =^ 

 on peut encore dire que l'équation (i) admet 



2 solutions pour >.<;},,, 



I » B X^?l,, ^ 



O » » >.>>.,. 



h- 



