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Dans le premier cas les deux solutions sont : l'une supérieure et l'autre infé- 

 rieure à la solution singulière unique correspondant à 'k=z\^. Lorsque A croit 

 à partir de zéro, la solution inférieure augmente, la solution supérieure 

 diminue et les deux solutions tendent en même temps vers la solution singulière. 



2. Ces résultats s'étendent facilement à une équation de la forme 



(5) '^+l\(^-)er=o, 



A(.r) étant une fonction positive. Il résulte des recherches générales de 

 M. Picard que cette équation admet, pour X négatif, une solution unique 

 s'annulant en « et è; il n'en est pas de même pour X positif. Nous prou- 

 vons qu'il existe un nombre positif A, tel que, pour o -< X < X, les approxi- 

 mations successives commençant avec j„ = o convergent vers la solution 

 inférieure de l'équation (5), tand^g que pour X^X,, ces approximations ne 

 convergent plus. 



3. Considérons plus généralement l'équation intégrale 



(6) 



cf(x)=lj K{x,y)F[cf{y)]dy, 



dans laquelle F(cp) est une série à coefficients constants 



(7) F(9) = 6„4-è,cp +. .. + ^„9" -h.. .. 



Nous nous proposons de chercher un développement en série entière 

 ordonnée suivant les puissances de X et satisfaisant à l'équation (6). 

 Posons 



(8) 9(x) = «o(-^') -l-^«i(^) +•• • + ^" ''«(■*')+•• ■■ 



Les fonctions a^ya,, ...,«„ étant obtenues de proche en proche, on arrive 

 au développement (8) satisfaisant formellement à l'équation (6). Voyons 

 dans quelles conditions ce développement est convergent. 



Si nous remplaçons F(ç) par une fonction majorante F,(cp) et K(.r,j) 

 par une fonction positive K, (x,y), telle qu'on ait 



|K(.r,j)|<K,(.r,j-)- 



pour X ely compris entre a et h, et si la solution de l'équation 



(9) 9^i^)-'^^f i"^i(-^.j)iM9.(r)]f/7 



