SÉANCe DU II AVRIL 19IO. 899 



est 



(10) ç,(j.') = A„(a.-)-4->. A,(j?) +. . .+ /,"A„(.c) H-.. ., 



on démontre qu'on a | a„ (.i') | <^ A„(.i-). 



Si la série (7) est holomorphe pour | o | <^ p et si N est le maximum du 

 module de sa somme dans ce domaine, on peut prendre comme majorante 

 de F((p) l'expression 



p-cp 



Si l'on a en outre |K(j-,j')| ■< M pour a'Sx^b, a^ylib, pour prouver la 

 convergence du développement (8), il suffit de prouver que l'équation inté- 

 grale 



admet une solution holomorphe autour de A ^ o. 



$ (x) étant indépendant de x en posant $ (x) = C, nous trouvons comme 

 solution nulle pour X = o la fonction 



(12) C().) = -[p-v/p=-4>'MNp(6 — «)], 



solution holomorphe pour 



(.3) |X|< 



4MN(6 — ff) 



Il en résulte que pour ces mêmes valeurs de A et pour a'^x^b la série (8) 

 est absolument et uniformément convergente. 



Dans le cas particulier F (cp) ^e'', on a e"^ <^ e? pour | ^ | <[ p et l'inégalité 

 (i3) devient 



1^1 </iMeP(6- a) = '"'■' 

 p' est maximum pour p = x. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations intégrales non linéaires. 

 Note de M. Paul Lêvv, présentée par M. Emile Picard. 



Les résultats de M. Schmidt sur les équations intégrales non linéaires 

 peuvent s'obtenir par une voie difTérente de la sienne. Proposons-nous de 

 chercher si l'équation 



