90O ACADÉMIE DES SCIENCES. 



admet des solutions de la forme 



(2) (f,{a-) = (f,„{a") -\-l(f,,{a::)+.. . + l"<D„{.r) +. . ., 



(prêtant une solution donnée de l'équation (i) pour X = o. F est supposé 

 développable suivant les puissances de y — çjj et de X. On trouve 



(3) <p„(.r)— / K(jr,y)(f„{y)df — ']j„{^e)=o. 



-'0 



Si le déterminant A relatif au noyau K n'est pas nul, !p„ est bien déterminé. 



Si A = o, on a les conditions 



(S„) S„ ,== o («■ =: I, 2, . . . , v) 



et cpn dépend de v paramètres a„, , ..., a^,^. Les conditions (S„) sont des 

 équations entre a, ,, ...,a„_,_.,. Leur discussion n'offre aucune difliculté. 

 Les a„ sont en amènerai déterminés par le système (S„+,); il n'est jamais 

 nécessaire de considérer un système d'indice supérieur à Jcn+p^ k el p 

 étant indépendants de n. On évite d'ailleurs tout calcul en remarquant que 

 les équations 



{!) l,=zlStj + . . .-hl"?>„,/ + . . .=.0 



sont des équations ordinaires par rapport aux inconnues 



a,r:= >ia,_,'-t-. . . + l"a„j~\-. . . 



et peuvent remplacer les équations (5). Les a doivent être des fonctions 

 holomorphes s'annulant pour X = o. 



Pour établir la convergence du développement obtenu, on commence 



par écrire à la place de F l'expression j — — r r— -> où m ■< r; c'est 



une fonction majorante de F à un facteur constant près. A la place de (p„ on 



a une constante positive $„, et le développement obtenu est convergent. 



loi 

 Revenant à F, on établit facilement, quand ^^ o, que '-^ est inférieur au 



pleine terme d'une progression géométrique. Si A = o, le raisonnement reste 

 valable si l'on suppose que les développements a,- convergent pour X assez 

 petit. Alors le développement (2) et celui du premier membre de (i) seront 

 convergents. En multipliant ce dernier par certaines fonctions de or et inté- 

 grant, on trouve les expressions S,, dont on voit ainsi qu'elles convergent 

 pour X, a,, ..., (Xy assez petits. Le théorème d'existence des fonctions 

 implicites montre alors que les expressions a,- sont bien convergentes. 



