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et h est alors une intégrale de l'équation 



^ ' Ou Oi- h^ 



peu différente de celle qui intervient dans l'étude des surfaces à courbure 

 totale constante. 



1. Cela étant, on peut trouver pour ces surfaces S une transformation 

 dépendant de quatre constantes arbitraires et qui, appliquée successive- 

 ment, permet d'en déduire de nouvelles surfaces S contenant autant de 

 constantes que l'on voudra. 



Posons en effet 



\+ct) log H dx I — c {) log l{ dx 



.c, = a; • — 



/( de Ou II du 



et des formules analogues pour y, et :;, ; R étant une intégrale du système 

 complètement intégrable 



/> AM I _i_ /< T AM ,12 U 



= AR, 



I nu- Il (lu tlii I — !• h rlv fin {H- 



(3) 



et e une constante arbitraire. Comme a;,,/, ,3, vérifient un système de la 

 forme (i), le point M,(x-,,>',, :?,) décrit une surface S, pour laquelle on 

 a, comme pour S, K:yj' = const. Or l'intégrale générale de (3) dépend de 

 trois constantes arbitraires; la surface S, en contient par conséquent quatre. 



Les droites MM, quijoignent les points correspondants de S et S, forment 

 une congruence admettant S et S, comme surfaces focales. Comme sur ces 

 surfaces il y a correspondance des lignes asymptoliques, la congruence 

 est W. 



Si l'on considère deux intégrales R, et R^ linéairement indépendantes 

 de (3) et les surfaces S, et So correspondantes, parmi les transformées de 

 S, et de Sj, il y a, en dehors de S, une et une seule commune. 



2. A cette transformation géométrique des surfaces S coiTcspond une 

 méthode simple pour obtenir, à partir d'une intégrale /i de Férpiation (2), 

 d'autres intégrales dépendant de constantes en nombre indéfini. Si R est 

 en effet l'intégrale générale de (3), 



, 2 dW Ol\ 

 11^ du dv 



est une nouvelle intégrale de (2) dépendant de quatre constantes arbitraires. 



