SÉANCE DU IiS AVRIL IQTO. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équalion fonclwnnelle linéaire. 

 Note (' ) de M. A. Blondel, présentée par M. Emile Picard. 



La présente Note a pour but do montrer que, si l'on connaît les nombres 

 fondamentaux et les fonctions fondamentales d'un noyau K(j7, j'), on saura 

 résoudre l'équation fonctionnelle 



(0 <?(J'i ^p) 



où l'on a posé 



-/■•■/V;: 





■ ■■■yp/ 



K(x,.j,) 



?(.ri 



K.{.r,.jp) I 



^i-fp-yp) 1 



et de trouver le développement de certaines fonctions de plusieurs variables, 

 au moyen des fonctions fondamentales deK(aT, y). 



Supposons d'abord K (x, y) symétrique en x, y, et continu. Soient A, , A^ , . . . 

 les nombres fondamentaux, qui sont réels, rangés par ordre de modules 

 non décroissants, (p,(cc), o^Çx), ... les fonctions fondamentales corres- 

 pondantes. 



Pour simplifier l'écriture, nous poserons 



?a,(.i'i) 



t,,('r, Jr^): 



'^aA-Tp^ 



où nous supposerons a, <^ a., <^ . . . < a^. 



On aura alors les égalités 



X--X' 



,(-^1- 



■^e,,) op, Pj,(j:i .rp)ctei ... dx,, 





p\ (si «, = (3, a,,= j3p), 



o (dans le cas conlrairo). 



Théorème I. — Si la série \^ 



y,(.x-)?/(r) 

 't'i 



est uniformément com'ergente, 



on sait quelle représente K(a;, y). Dans ce cas, on pourra développer 



K ( ' ' ' • ■ " ' ■ i'\ sous la forme 



(2) IV| 



.r,./ 



>.. 



r,{-Vi '^p)9o., a,,(,)-i. 



.'V). 



( '; Présentée dans la séance du 4 avril igu 



