gSB ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ ta série multiple du second membre converge uniformément , lorsque les x et 

 les j' sont compris entre a et b. 



La démonstration consiste à appliquer le théorème de Cauchy au produit 

 des deux matrices 



>.,^9,(.r,) ... l,^^- w„{xi) 



^1 '?.(//>) 



et à faire croître ensuite n indéfiniment. 

 De l'équation (2) on tire par intégration 





K--- >'» 



?a, (■/■)! ) ... 9a„ + ,,(-0i) 

 Il 9a, (-l,,) • •• 9a„+, (■'■;«) 



et 



/''V,, J„ Vnu ■■■, r;„; x,, ..., x,,J 



<?a,(S.) ••■ 9a„+,,(4l) 

 9a, (t„) ••• 9a„ + ,,(H") 



Remarquons que la formule (2) montre que, pour qu'un noyau symé- 

 trique soit défini positif, il est nécessaire que K ( ," '' ' j soit positif. 



Cela résulte de ce fait que les X sont alocs tous positifs, et que le déve- 

 loppement de K(a7, j) est toujours possible. (MERCEn, Philos. Trans., 

 vol. CCIX.) 



TuKORÈME II. — Si une fonction *P(x,, ...,œ^,) peut se mettre sous la forme 



elle peut se développer sous la forme 



y,' / 



/'(/, 



r,,)drt . . . (/y,.. 



où A^^ 5( est donné par l'égalité 



(*•) Aa, a,,= — j / ■■•f ^'^*{-fi- ■ ■■,^p)<?oi,.... c^yi-^i- ■ ■■^•'^i')drt . . . (/.r,,. 



