SÉANCE DU l8 AVRIL 1910. Ç)5g 



Pour le démontrer, j'emploie le théorème de E. Schmidt sur le déve- 

 loppement des fonctions qui peuvent se mettre sous la forme 



/"'■ 



y) f'(y)dy. 



Théorème III. — Les nombres fondamentaux du noyau symétrique 



\ri- • ••' .>'/' 



sont — ^-^^^^i^ — -, et les fonctions fondamentales normales correspondantes sont 



slp\ 



Il suffît de vérifier que ce sont bien des nombres fondamentaux et des 

 fonctions fondamentales. Il n'y en a pas d'autres; cela résulte du théorème 

 précédent et du théorème déjà cité de E. Schmidt, appliqué au noyau 



■vr l^\> • • • > ^p 

 \Ji. ••-. Jp 



Théorème IV. — U égalité {^^ subsiste encore, pourvu qu'on ait seulement 

 l'égalité numérique 



-^ / ■■•j [^{x,., ...,j:p)Ydj-,...dXp-^Xl^ «,,. 



Pour le faire voir, je démontre que la série multiple SA^, . ...» est con- 

 vergente et que SA^^^ „ ip„^ a,(^n • • ■ > ^/>) est uniformément conver- 

 gente. 



A^e supposons plus maintenant Is^i^x, y) symétrique. Soient A,, A„, ... 

 les nombres fondamentaux, qu'on peut supposer positifs; 



i|>,(j-), ^i{x), ... 



les fonctions principales correspondantes. 



Les théorèmes I, II et III se généralisent immédiatement. De III résulte 

 qu'on saura résoudre l'équation (i). 



Je donnerai ailleurs les démonstrations complètes. 



C. R., 1910, 1" Semestre. (T. 150, N» 16.) I27 



