I028 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



variation de la première méthode de Jacobi, due à M. G. Darboux ('), 

 généralisée sur le système d'équations en involution 



(') ^^(•■'■l •!■„,--, /'i, ■ ■■, /'«) = C, {l=:i,-2, ..., m). 



La détermination de l'intégrale complète classique du système(i ) consiste, 

 d'après la méthode de Jacobi généralisée, en la détermination de n ■+- i — m 

 fonctions F^(a7,, ...,ir„, z, p,, ...,p„)(s=:m + i, . ..,n -4-1), de manière (jiie les 

 fonctions Fy( .r,, . . ., a;„, :;,/?,, ...,/>„)(_/= i, 2, . . ., n -h 1 ) soient en involu- 

 tion et indépendantes par rapport àyj,, ...,/>„. La nécessité de ces condi- 

 tions se démontre de la voie élémentaire ; leur suffisance résulte de ce fait 

 Cjue le système d'équations différentielles ordinaires correspondant au 

 système d'équations 



[F,./]=o is = i,2,...,p) C), 



où 



[F«,Fp] = o (o:,p = 1.2, ...,/.) 



contient toujours l'équation 



dz — />, f/j'i — ... — pi^ ci.v,i = o. 



Supposons maintenant qu'on ait déterminé par le procédé connu de 

 Jacobi généralisé le système de n -h i fonctions V /(j = i , 2, ...,/? -i- i) indé- 

 pendantes en involution et que ces fonctions, cjuant aux variables/;, p„, 



ne soient indépendantes que par rapport à p,, ...,Pq : soit, par exemple, 



-77 — '" ' ' " — ^ :^ o (mSqSn). On a toujours 



(2) rî';-/*,fl'.r, — ...-/)„^)'.r„=P,f/F, + ...+ F„+, rfF„+,, 



ou bien 



P P / ' \ 



piciz — p, (/.r, — . . . — p„dj.„) = r^— !— c?F, -i-. . .+ -pp-^r/F„+ f/F„+, ( p — ^ )• 



11 vient, d'après un théorème récemment démontré (Comptes rendus, 

 t. 150, 1910, p. r)i) 



[£;■"'] 



(«•=/,), [ P, P/, 1 



(') Darboix, lliilL, I'''" série, t. MU. 



(^) C'est-à-dire le système généralisé d'équalinns canoniques d'Hamiiton. Voir, par 

 exemple, G. Ritssyan, Die Pfaff'sche Méthode der Intégration der partietlen DiJJ'e- 

 renzen i ,0 {Bull, de l'Acad. des Sciences de Cracovie, igoS). 



