Io3o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



les résultats d'élimination des fonctions Fy^,, . . . , F„+| des variables jd,, . . . 

 à l'aide des équations F^ = C,(^ = i, 2, . . . , y), on obtient, d'après (2), 



C,+ , tl^,,^ , -t- . . . + C„ </0„ -H d<b„+^ = o, 



dont l'intégrale 



,Pn 



(3) 



{^\, 



.r,„z,C,, ...,C,). 



+ C„<I»„(j",, . . ., x„, c,C,, G,) 



(niSq'in) 



est l'intégrale complète classique du système (i) en involution. Le système 

 de « + I fonctions ¥ j indépendantes en involution étant donc déterminé, 

 on obtient l'intégrale complète classique du système (i) en éliminant^,, ..., 

 /)„ des équations F, = C,, ..., F^= C^, Cy+,F^+, +...+ C„F„-f-F„+, = C„+,. 

 Si, en particulier, les équations données (i) ne contiennent pas explici- 

 tement r, on le peut toujours supposer de même par rapport aux fonctions 

 F,n+,, ..., F„; donc la fonction F„+, se détermine par les quadratures dans 



la forme 



-; + U(a;,, ...,,r,„F,, ..., F„), 



de sorte que l'intégrale classique complète a dans ce cas la forme 



5 = C,/+,0,H_,(,r,, . . ., .r,„ G,, . . ., G,) -t-. . . 



-t-G„<I)„(.r,, . . .,J?„,G,, . . .,G,) 4- U(.r,, . . .,.2-,„G,,...,G,,<I>,+,,.. .,<l>„)-t-C„+,. 



Le cas q = n est le cas normal dans l'exposition ordinaire ; mais celui 

 q<in est exceptionnel. Dans ce cas les équations Fy=C^ représentent 

 l'intégrale complète du système (i) dans le sens généralisé de S. Lie. On 

 voit, d'après la forme de l'intégrale complète classique (3), que ce cas ne 

 peut se présenter que pour le système (i) de la forme spéciale. On peut 

 donner aisément la méthode générale pour obtenir de tels systèmes. En éli- 

 minant Cj+i, C„, C„+, de l'intégrale (3) par des diflérentiations, on obtient 

 le système 



(4) 



Pi 



Pi+i 



Pn 



d^o 



Ox„ 



àz 



OiK, 





(/= 1,2, ...,(/), 



qui, étant résolu par rapporta C,, ..., C,, donne entre autres le système (i). 



