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Inversemenl, pour les fonctions (|uelconqut's 4»,^.,(a?,, ..., x„, z, C,, ..., C^) 

 (i = i, 2, ..., H -\- I — q) indépendantes par rapport à a;^^,, ..., ^„, z et 

 telles que le système (4) est résoluble par rapport à C,, ..., C^, on obtient 

 en le résolvant le système d'équations F,(.r,, ..., j_-„, z, />,, ...,/>„) = C, 

 (* = I, 2, ..., <^) en involution, résolubles par rapport à />,, ...,yjy, dont 

 chaque système de m^^' équations a une intégrale de S. Lie, 



F,= C,. .V = I, 2, . . .. 9. K,_^, = C,_H, ((=i,a /i + i — r/), 



où 



F,+,-=<ï>y^, (■'■., •••, ■'■„, :J',. •••, I-'v). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Ea-isience de solutions singulières pour certaines 

 équations de Fredholm. No)** de M. Joseph J^Iarty, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Dans une Note antérieure ( 28 février 1910), j'ai indiqué comment il était 

 possible, par l'application de la méthode de Schwarz, de démontrer l'exis- 

 tence d'une valeur singulière pour un certain type d'équations intégrales. La 

 méthode est, au fond, une méthode d'approximations successives appliquée 

 à l'équation intégrale obtenue en itérant le noyau une fois et en commençant 

 l'approximation par le noyau lui-mémo. Voici un exemple encore d'un type 

 étendu d'équation de Fredholm où l'on peut procéder de manière analogue : 



Soit l'équation 



(I) 9(-*-) — > /H(^-, .v)9( Jia'r^ /(-r), 



H(a-, y) étant une fonction bornée, intégrable et de carré intégrable. Nous 

 supposons qu'il existe une fonction K(.r,y), symétrique et telle que 



G(jc, y) -- /K(.r, s)ll(;, y.)dz 



soit aussi une fonction symétrique ; on peut toujours admettre quelv(.r, y) 

 est une fonction f/e/;>n>; car autrement on pourrait, au lieu de G(.r, y), con- 

 sidérer G' (x, y) : 



G'(,/-. y)= i K(.r. t]G{l. y)dtz= i j Kir. t)K{t, :) H( z. y) dz dt. 



Ceci posé, et si nous faisons abstraction des solutions singulières orthogo- 

 nales à K(.r, jj, on peut énoncer les théorèmes suivants : 



L [.es râleurs singulières de l'équation ( 1 ) sont réelles. — Soient, en clTet, 



c. K., 1910, I" Semestre. (T. lôO, N« 17.) I î(j 



