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À une valeur singulière, u(.t) -+- iv(.T) la solution correspondante; on aura 



fl 



Gi-i: y}[u{jr)-^ i^'(a-)][u{y) — i\'(y)](i{j:y 



A est donc réel 



2. Si G(x,y) n'est pas identiquement nul, il y a une valeur singulière. — Il 

 suffit de considérer [H„(a?, j) désignant, comme d'habitude, le n'"""" noyau 

 itéré] la fonction 



<i>„{.r. y)^. flKi^-. z)\\„(z, y)dz 



et les nombres 



U„= I ^„{z.s)dz; 



les quantités "•„ = j-. — '^^^— jouent le rôle des constantes de Schwarz, et, 



comme dans ma première Note, le fait que K(.r, y) est défini permet d'écrire 

 les inégalités nécessaires. 



On trouve ainsi une valeur singulière et, pour l'équalion associée avec le 

 noyau Ho(r, r), une solution singulière sous la forme 



R(^, 3) = lim -^ f I lv(.v, t) H„(v,,r) H„{t,y) d{s, I 



Si la fonction G(a7, v)esl identiquement nulle, toutes les solutions singu- 

 lières sont orthogonales à K (a-, y). 



Comme exemples d'équations intégrales de seconde espèce rentrant dans 

 le type précédent, citons [R(j7, y} étant symétrique] 



1° H(j?,j) = A(a')R(a-,^v), 



on peut prendre 



K(.r,_y) =: Vi(x.y) ; 

 2° H(x,,r) = A(,r)R(a-,j)B(j). 



on peut prendre 



K(.r,r) = B(.r)B(j)H(.r.,r); 



dans cesdeuxcas, d'ailleurs, il ne peut y avoir de solution singulière ortho- 

 gonale à K(a?,j'). Si R(.r, J') n'est pas défini, on applique la remarque 

 faite plus haut, mais les conditions 



l K.i{jc, z)\\(z, y)dz'^o ou =o 



