SÉANCE DU 23 AVRIL 1910. Io33 



entraînent nécessairement 



lK{u',z)H{:,j)dZyéo ou 



On voit donc que la conclusion de ma Note du 28 février (') subsiste 

 encore, même si le noyau n'est pas défini. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de Dirichlet. Note de 

 M. Michel Fekete, présentée par M. Emile Picard. 



1. On sait que la série de Dirichlet D(*) = V — est uniformément con- 



n = \ 



verjfcnte dans toute aire intérieure à son domaine de convergence, donc 

 elle définit une fonction analytique. 



\ous allons montrer qu'une série de Taylor T(>r) = V a„j;", associée à 



la série de Dirichlet, joue un nMe important dans la détermination du carac- 

 tère analytique de la fonction f{s) définie par D(5). En combinant le 

 théorème de M. Bohr (-) [d'après lequel la série de Dirichlet présente la 

 sommabilité uniforme d'ordre r dans le domaine R(5)>> R(.?o)? pourvu 

 que la méthode des moyennes arithmétiques d'ordre r soit applicable 

 pour 5 = .y,,] avec celui de M. Marcel Riesz (') (qui, à son tour, nous donne 

 la condition nécessaire et suffisante pour que la série de Taylor soit som- 

 mable en un point réguUer), j'ai pu démontrei' le théorème suivant : 



I. Si la fonction analytique o(.r) définie par T(.r) est régulière au 

 point X :^ i (*), f(^s) est une Jonction entière. 



(') Je profile de l'occasiou pour corriger une légère erreur de transcription : il faut, 

 à la dernière égalité, ajouter -+-f{a)). 



(-) Comptes rendus, m janviei' 1909. 



(') Comptes rendus^ 22 novembre 1909. 



(*) Il suffit de nous borner au cas où la série T(x) a pour raj'on de convergence 

 l'unit'^. En effet, si la série D(5) est convergente en un seul point du plan, la série 

 T(x) converge au moins dans le cercle de rayon i ; d'autre part, si le rayon de con- 

 vergence de F(.r) était supérieur à 1 , la série D(i) serait convergente dans tout le 

 plan et cela rendrait notre théorème évident. 



