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2. Dans ce cas, le prolongement analytique de la fonction y^*) est pos- 

 sible en dehors du domaine de convergence : 



1° Par la méthode dex moyennes arithmétiques (l'abscisse de sommabilité 

 d'ordre r étant X^= A,, — r, où X„ est l'abscisse de convergence); 



2" Par la sommation exponentielle de M. Sorel [par celte méthode, T)(s) 

 est sommable dans tout le plan] ; 



3° Par des séries de polynôme de Dirirhlel ( en appelant polynôme de 



Dirichlet les sommes de la forme ^ -7 ) • 



71 = 1 



Si 



2 P„ ( X ) r=2 ( c',"'x ■+- c':'' .'■■ -4- . . . ^ <' X*") 



est une des séries de polynômes de M. Miltag-Leffler de o{x), la série de 

 polynômes de Dirichlet de /(s ) sera 



Celle-ci est uniformément convergente dans tout domaine finie du plan 

 des *. 



3. Le problème suivant se pose : Déterminer le caractère analytique de la 

 fonction /(^s) dé/inie par V) (s) quand la /onction z^ix') dé/inie parF(.r) est 

 singulière au point .r = i . Est-ce que ./(v) aura nécessaireme/tt des singularités 

 à distance finie ? 



Je ne suis pas arrivé à résoudre ce problème dans toute sa généralité, 

 mais je peux démontrer que : 



II. Si l'ordre (au sens de M. Hadamard) de "Sfi^x) est — ao au point (sin- 

 gulier) r = I , la fonction f(s) est encore un/- fonction entière. 



III. Si le point r = 1 est un pôle, ou bien un point singulier logarithmique 

 ou algébrique de la fonction CD(.i'), la fonction fis) a des singularités à 

 distance finie. 



IV . Si les coefficients de D(s)sont des nombres complexes qui se trouvent 

 dans uti angle oc <^~ du plan complexe, le point réel de la droite de conver- 

 gence est un point singulier de la fonction f( s). 



Le lliéorème dernier est l'analogue du théorème démontré par M. 1*. 



