SEANCE UV 20 AVRIL I910. Io35 



Uienes ( ') relativement aux séries de Taylor et renferme, comme cas parti- 

 culier, un des théorèmes de M. Landau (-). La démonstration peut se faire 

 dans Tordre d'idées de M. Landau, nous appuyant encore sur le fait que la 

 convergfence absolue d'une série simple ou multiple résulte de la conver- 

 gence de cette série, si tous les termes tombent dans un angle a<^- du 

 plan complexe. . 



4. Si nous connaissons la manière dont se comporte la fonction définie 



par la série Va^s" au point 3 = 1, nous pouvons en tirer des conclusions 



II — 



relatives au caractère analytique des fonctions représentées d'une part par 

 des séries 



(0 y__-"' 



d'autre part par des séries 



n = n 



Les résultats sont analogues aux théorèmes I-IV, avec la seule différence 

 que dans le cas des séries factorielles (i), au lieu de fonction entière, il faut 

 dire fonction rnéromorp/ie . 



Le prolongement analytique des fonctions définies par (1) et (2) est pos- 

 sible à l'aide des méthodes des moyennes arithmétiques, de la sommation 

 exponentielle de M. Bore! et à l'aide des séries de polynômes de factorielles, 

 pourvu que la série de Taylor associée soit régulière au point .r = i. 



Les séries de polynômes sont de la forme suivante : 



Pour la série ( i) 



yrc ^^^^ __^ 2Ç^ — ^1 



^\_v xy.v + i) .r(,,--+- (). ..(.r 4- A„) I 



et pour la série ( 2 ) 



> C\'.' JC c\"'.xi.V — 1 1 -)-. . .-1- ( I \k„ iA 



c\" ' JC — c'i" ' :. 



.r(.r — i)H-.. .-!-(— O'^-T^j-i.; —\)...{.r — k„) 



(') Comptes rendus, 20 février 1903. 



(-) li. Laxdau, Uber einen Satz von Tschebyschef [Math. 4n/i., t. LXI, p. 536). 



