SEANr.K UU 23 AVRIL ipiO. 1087 



D'autre part, les équations (2) difFérentiées donnent 



rfj7, t=: F, f/p -(- p F , f/<, (t.c, = F., r/p H- p F'j <y^ <^^3 =; Fj <yp -j- p F'3 rff , 



où p désigne la valeur commune des rapports (2) et F' la dérivée complète 

 de F. Eliminant f/p et p dt entre ces trois relations et remplaçant F,, Fj, F, 

 par les quantités proportionnelles x^, x.^, a\^ on trouve 



F", {.1-.2 dx\— .r, f/.-Cn) -+- F^ (j:-, d.r^ — j:, djr.^) -t- F3 (x, dx.2 — x, dx,) = o. 



C'est bien là l'équation aimoncée, car les trois fonctions F' homogènes et 

 du même degré par rapport à C,e'''', C^e'''', C^e^', sont d'après les équa- 

 tions (3) des fonctions homogènes et du même degré en x,, .i\, x^. 



Ce théorème fait correspondre à toute équation différentielle du troisième 

 ordre à coefficients constants une infinité d'équations différentielles algé- 

 briques du premier ordre et du premier degré, dont l'intégrale (4) est 

 algébrique ou transcendante, suivant les valeurs assignées aux rapports des 

 constantes r, , r.,, /•,, . 



La réciproque, dont la démonstration est immédiate, s'énonce ainsi : 

 Quand l'intégrale générale d'une équation du type (A) est de la forme (4), 

 les fonctions cp, homogènes et du même degré, définissant une transfor- 

 mation birationnelle, les trois variables r, , x.^, x^ sont proportionnelles à 

 trois fonctions uniformes d'un paramètre auxiliaire, rationnelles par rap- 

 port à la constante d'intégration. 



Applications . — 1° Considérons la transformation quadratique biration- 

 nelle, dont les trois points principaux sont confondus, 



un 111/ — Il - II' 



où 



Il =1 II i -1^ Il , -h II j. Il' := r, 11^ -+- r.,11.2 -i- l'i II 3, II" — r'\ 11 1-+- ri 11 ^ -+- r'I «3; 



si nous formons l'équation (A) correspondante et si dans cette équation 

 nous faisons 



nous trouvons l'équation d'Euler, 



y dy -+■ [(3^ — /•, — r,— r.j) r ■+- (.r — /•,) ( j- — r,) {x — r,)] dx = 0, 

 dont l'intégrale est 



[Y + (x-r,){x-r,)Y.-'; 



X [.'■ — {■''■— r-i){x — /•,)]'■.-'•. [,v -H (x — ri){x — r^ )]'■.-'■==: consl. 



