SÉANCE DU 25 AVRIL 1910. 1089 



2n fondions des 2n variables .t et y. Nous pouvons faire un changement 

 de variables, en prenant pour variables nouvelles les ^ et les a. Si les rela- 

 tions qui lient les variables nouvelles aux variables anciennes sont telles 

 que l'expression 



y P rfa - V .r dr = dS 



soit une différentielle exacte, on sait que ce changement de variables 

 n'altérera pas la forme canonique des équations ( 1), qui deviendront 



d^_dF_ du, _ ù¥ 



HT ~'ôl,' dt '^" O^i' 



Nous dirons, avec M. Poincaré, qu'un tel changement de variables est 

 un changement canonique , et nous le désignerons par la notation 



(,r. r)^(,3, a). 



Je suppose que l'une des variables canoniques nouvelles, par exemple 

 j3,, soit précisément la fonction F elle-même : alors, avec ces nouvelles 

 variables (P,, a,), les intégrales du problème seront 



les C désignant -xn constantes d'intégration. 



Pour que ;}; = const. soit une intégrale des équations (i), il faut et il 

 suffît que, exprimée au moyen des variables [3,, a,- et /, la fonction çp ne 

 dépende que de 



«,+ /, «2, ..., a„; [3i, (3.,, ..., (3„; 



s'il en est ainsi, les dérivées -r^» -r^- ne dépendront aussi que des mêmes 

 quantités. 



Soient alors ip,, ç^, . . ., différentes intégrales du système (i) : je consi- 

 dère une expression 



dépendant des f et de leurs dérivées partielles (d'une ordre quelconque); 

 je suppose que tout changement de variables canonique (x, j)-^(p, a) 

 transforme cette expression en la suivante : 



(3) -J' ?., 92, ...,;Ti^.-r^, •••' -W' T^' ••• ' 



\ à^i oc-i dp,- oxi J 



C. R., 1910, I" Semestre. (T. 150, N" 17.) l37 



