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OÙ les -77^, 4-' remplacent simplement les -r— > -;— . qui fiiiurent dans (2), 



ce que j'exprimerai en disant que l'expression (2) est invariante par lout 

 changement canonique de variables. Je dis que, dans ces conditions, 

 l'expression (2) est une intégrale du système (i); si, en effet, les (P,, a/) 

 sont précisément les variables canoniques que nous considérions tout à 

 l'heure (jB, = F), il est évident que (3) est une intégrale. Nous pouvons 

 donc énoncer ce théorème : 



Toute expression telle que (2) invanaiitc par tout changement canonique de 

 i^ariahles est une intégrale. 



En particulier, la parent/ièse de Poisson 



est invariante par tout changement canonique, ainsi qu'on le constate aisé- 

 ment; c'est donc une intégrale : nous retrouvons le théorème de Poisson. 

 De même l'expression 



D(.7-,, Y h •*/.-. J/f> 



est invariante par tout changement canonique; c'est donc une intégrale : 

 c'est la généralisation du théorème de Poisson donnée par M. Poincaré 

 (Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. HT, p. 43). 



Supposons maintenant que les équations (i) ayant été intégrées, les .i-, et 

 les j, se trouvent exprimés en fonction de ^ et de 2 n constantes d'intégra- 

 tion a,, a^, . . . , ajjj. Je suppose qu'une expression 



dépendant des dérivées des variables par rapport aux constantes d'intégra- 

 tion, soit invariante par tout changement canonique (a;, r)->(|ï, a), c'est- 

 à-dire qu'elle se transforme en 



r - — ) — — ) • ■ -1 - — ) - — ) • • • )• 

 \da, <)\\: ili\i (Va, / 



Les mêmes considérations que tout à l'iieuro montrent aisément que cette 

 expression ( 4 ) est une intégrale du système (i ). 



