1092 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Il est facile de déterminer ces fonctions. Tout d'abord, on remarque que 

 si l'on multiplie tous les 9,- par une même fonction de m,, les équations (7) 

 ne cessent pas d'être vérifiées. On pourra prendre 



T,, To, T3 étant les coordonnées d'un point qui décrit une courbe isotrope. 

 Des équations (7) on déduit 



(9) 



7 5,-;— =0. > 6',-j— 5-=o, > -j-^ -j-i- =0. 



^^ dii^ ^^ dui ^4 dui du\ 



Pour employer un langage géométrique, je dirai que la droite issue de 

 l'origine et qui a pour paramètres directeurs 6,, 0„, ..., O5 décrit un cône 

 doublement isotrope; j'appellerai plan langent à ce cône l'ensemble des 

 points dont les coordonnées Z,, Z^, . . ., Z^ sont de la forme 



Li— Ibi-h iJ--]—' 

 ' du i 



X et p. étant arbitraires. 



Je prends maintenant les points communs au tripel-ortbogonal au réseau M 

 et au plan tangent au cône double isotrope; c'est-à-dire que je détermine 



Y,, Yo, Y3, À, p. par les équations 



(10) Z, = X,- + Y, u-, H- \, y, + Y3 z, = '//J, + :^- ^ • 



Je dis que le point qui a pour coordonnées \ ,, \ ;,, Y3 décrit un système 

 cherché. 



Tout d'abord, des formules (10) et (4) on déduit 



(11) a;{\\- p,) -^ y,(\,- p,) + z,{\,—p,) - qi, - r-f„^lO,-+ p.^. 



En élevant au carré les cinq formules (i 1) et en ajoutant, on a 



(12) (Y,-y,,)»+(Y,-/A)^+(V,-/;;,)^-t-y^+'--^=o. 



Ceci montre que si 11, varie seul, le point (Y,, Y,, Y.,) décrit une courbe 

 tracée sur une sphère S dont le centre G a pour (^ordonnées y^,, p.,, p^ et 

 dont le rayon p est donné par 



(13) _p!=^î+,.î. 



D'autre part, en diflérenliant les équations (10) successivement par rap- 



