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SÉANCE DU 2 MAI IpIO. IOqS 



port k II,, II.,, 11^ on trouve 



dit (9Y, rfYs dY, 



OJ/i rf«i 0"i aii^ 



= 9,-5 ^ -7-^ P' + T^ + -W i^- 



c>Z,- _ , ^. -- -, ^ t)Y, dY, dY, 



d/'s ■ c^'/a •^ ()ll.2 Ou-i 



_f. ^ dBj àiJ. 



' au 2 du ^ au. 2 



dZi , , , .- -,- , ., , <^Y, dY, dY; 



_ ç, d\ dOi ô[j. 

 ôu-i du, ôu; 



Multiplions, membre à membre, deux quelconques de ces formules et 

 faisons la somme pour toutes les valeurs de l'indice ?', on aura, si a et p sont 

 deux indices différents ayant les valeurs i, 2, 3, en tenant compte des 

 équations (7) et (9), 



V 6)Z, dZj _ Y dYj ôYi _ 



^'^^ 2^du^rhi^~ 24du.^dui^~°' 



Ce qui montre bien que le point ayant pour coordonnées Y,, Yo, Y, 

 décrit un système triple-orthogonal. On obtient d'ailleurs, par cette 

 méthode, tous les systèmes triple-orthogonaux à lignes de courbure sphé- 

 riques dans un seul système. 



Au point de vue de la détermination de ces systèmes, ma méthode montre 

 que la seule difficulté analytique est de connaître le tripel-orthogonal à un 

 réseau O de l'espace à cinq dimensions. Comme beaucoup de ces tripel 

 peuvent être formés effectivement, on voit qu'on aura très simplement des 

 systèmes triple-orthogonaux possédant la propriété indiquée. Je laisse de 

 côté cette application pour examiner la congruence de sphères (S) et la 

 surface (G) décrite par les centres de ces sphères. Les formules (i), (2), 

 (5), (i3) ne diffèrent pas de celles qui ont été établies par M. Darboux 

 {loc. cit.) ; M. Darboux a montré que ces formules constituent des conditions 

 nécessaires ; je viens d'établir que ces conditions sont suffisantes. 



On peut donner une interprétation géométrique de ces formules. Les 

 formules (5) montrent que les courbes u^ = const., «3 = const. tracent un 

 système conjugué sur la surface des courbes (G); les tangentes aux courbes 

 de ce réseau ont pour paramètres directeurs a, e, g d'une part, h, f, k 



